Desafortunadamente, ya no podrás preguntarle al respecto. Pero en términos generales, un “esquema” es una forma de considerar un objeto matemático descrito localmente por algunas ecuaciones polinómicas simultáneamente sobre varios anillos.
En general, una forma significativa de descripción de un objeto, digamos [math] X [/ math], en alguna categoría [math] \ mathcal {C} [/ math] es solo describir todos los conjuntos de morfismos [math] \ mathrm {Mor} _ {\ mathcal {C}} (Y, X) [/ math] a [math] X [/ math], donde [math] Y [/ math] corre sobre todos los objetos de [math] \ mathcal { C} [/ matemáticas]. Por lo tanto, describimos [math] X [/ math] en [math] \ mathcal {C} [/ math] por medio del functor de [math] \ mathcal {C} [/ math] a la categoría de conjuntos definidos por [matemática] Y \ mapsto \ mathrm {Mor} (Y, X) [/ math]. Si definió los morfismos entre tales functores como transformaciones naturales, podría describir los morfismos entre objetos en términos de la transformación natural de los functores.
Ahora vamos a bajar a la tierra. Consideremos un esquema afín [math] X = \ mathrm {Spec} ~ \ mathbf {Z} [x, y] / (x ^ 2 + y ^ {2} -1) [/ math].
Los elementos del anillo correspondiente son solo clases de residuos de polinomios con coeficientes enteros en [matemáticas] x, y [/ matemáticas], y los polinomios definen la misma clase de residuos si su diferencia es un múltiplo de [matemáticas] x ^ 2 + y ^ {2} -1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, nos gustaría interpretar estas clases de residuos de alguna manera como funciones polinómicas en algún objeto geométrico descrito por la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + y ^ {2} -1 = 0 [/ matemáticas]. Surge la pregunta natural: ¿Cuáles son los puntos de este objeto geométrico?
- La normal dibujada a la elipse (x ^ 2 / a ^ 2) + (y ^ 2 / b ^ 2) en la extremidad del recto latus pasa a través de la extremidad del eje menor. ¿A qué es igual la excentricidad de esta elipse?
- Cómo calcular la distancia de un punto desde una línea dada
- Si el eje radical de los círculos [matemática] C_1 [/ matemática] y [matemática] C_2 [/ matemática] toca el círculo [matemática] C_3 [/ matemática], entonces ¿cómo puede demostrarse que [matemática] g = 3 / 4 [/ matemáticas] o [matemáticas] f = 2 [/ matemáticas]?
- Dado un círculo de circunferencia C> 0, y dado que debo elegir puntos ilimitados de la circunferencia, ¿cuál es el número esperado de veces para cada punto a elegir?
- Si pi es irracional, ¿cómo es que podemos construir un círculo con un valor finito de circunferencia?
Volviendo a la parte abstracta, para describir este objeto geométrico necesitaremos decir cuáles son los conjuntos [math] \ mathrm {Mor} (Y, X) [/ math], donde [math] Y [/ math ] es un esquema arbitrario. En aras de la conveniencia [math] Y = \ mathrm {Spec} ~ B [/ math] donde [math] B [/ math] es algún anillo. La forma natural es solo decir:
[matemática] Mor (Y, X) = Hom (A, B) [/ matemática], es decir, simplemente establece todos los homomorfismos del anillo desde [matemática] A [/ matemática] a [matemática] B [/ matemática].
Observe, es al revés ([matemática] Y [/ matemática] corresponde a [matemática] B [/ matemática] y [matemática] X [/ matemática] corresponde [matemática] A [/ matemática]). Esto se debe simplemente al hecho común de que si tiene un mapa “regular” entre algunos espacios, induce un mapa entre las funciones “regulares” en ellos en la otra dirección.
Así que ahora estamos listos para describir qué es [math] X = \ mathrm {Spec} ~ \ mathbf {Z} [x, y] / (x ^ 2 + y ^ {2} -1) [/ math]. Tome [math] Y = \ mathrm {Spec} ~ \ mathbf {Z} [/ math].
Entonces, los llamados puntos de [math] X [/ math] denotados por [math] X (\ mathbf {Z}) = \ mathrm {Hom} (A, B) ) [/ math] = [math] \ mathrm {Hom} (\ mathbf {Z} [x, y] / (x ^ 2 + y ^ {2} -1), \ mathbf {Z}) [/ math] .
El último es un conjunto de homomorfismo de anillos, cada uno de ellos se describe por los dos enteros [matemática] a, b [/ matemática] a la que se asignan [matemática] x, y [/ matemática]. Además, estos dos enteros deben satisfacer [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. Así que tenemos solo los puntos enteros en el círculo unitario, que son [matemáticas] (\ pm 1,0), (0, \ pm 1) [/ matemáticas]. Es bastante aburrido y proporciona muy poca información sobre [matemáticas] X [/ matemáticas].
Ahora deje que [math] Y ‘= \ mathrm {Spec ~} R’ = \ mathrm {Spec ~} \ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} [/ math], donde [math] p [/ math] es una prima (pero no es necesario). Como en el caso anterior, obtenemos que [matemática] X (R ‘) [/ matemática] consiste en todos los enteros [matemática] \ mod p [/ matemática] que satisface [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = 1 [/ matemática ] Es mucho más interesante, y necesitas algunos conocimientos básicos de álgebra o teoría de números para describirlos.
Finalmente, deje que [math] Y ” = \ mathrm {Spec ~} R ” = \ mathrm {Spec ~} \ mathbf {R} [/ math]. En este caso, [math] X (\ mathbf {R}) [/ math] son todos los puntos reales del círculo unitario que conoce de la escuela.
De hecho, esta información geométrica no está separada. Dado que tiene los homomorfismos naturales del anillo [math] \ mathbf {Z} \ to \ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} [/ math] y [math] \ mathbf {Z} \ hookrightarrow \ mathbf {R} [ / math], obtienes los mapas correspondientes entre conjuntos de sus puntos valorados en anillo [math] X (\ mathbf {Z}) \ to X (\ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z}) [/ math] y [ matemática] X (\ mathbf {Z}) \ a X (\ mathbf {R}) [/ math].
En general, creo que un esquema de palabras es una buena elección de palabras para dicha estructura.