Gracias por A2A ..
Ahora, hay una forma analítica de resolver esto … Y luego hay una forma lógica …
Lo resolveré de la manera lógica …
Ahora, desde el principio de Máxima y Mínima, si la pendiente de una curva en algún punto (x1, y1) es cero, está en la distancia más lejana o más cercana al eje X.
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Extrapolando esa teoría, si la pendiente de una curva en el punto (x1, y1) es igual a la pendiente de una línea dada, entonces ese punto debe estar más alejado o más cerca de esa línea.
Por lo tanto, necesitamos trazar la pendiente de la curva dada.
Ahora, anotemos la línea y la curva dada bajo la pregunta.
Línea:
[matemáticas] y = 10 – 2x [/ matemáticas] ……………………… .. (1)
Curva :
[matemáticas] x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 [/ matemáticas] ……………………… .. (2a)
Por lo tanto, primero veamos cómo se ven las formas.
* Perdón por la foto de lado, pero intenté esto por quinta vez sin mucha diferencia …: – (*
De todos modos, en la imagen de arriba puedes ver que hay dos posibilidades donde la pendiente de un punto en la elipse es igual a la pendiente de la línea dada.
Por lo tanto, tratamos de encontrar el punto en la elipse a través del cual la tangente está más cerca de la línea dada y paralela a ella, es decir, la posibilidad 1.
Ahora, la forma más rápida y, con diferencia, la mejor para encontrar la pendiente de una curva dada es diferenciar toda la ecuación.
Al diferenciar la curva dada (ecuación 2a) con respecto a x, obtenemos ..
[matemática] 2x / 4 + 2y / 9 * dy / dx = 0 [/ matemática]
o
[matemáticas] -9x / 4y = dy / dx [/ matemáticas] ……………………… .. (3)
Ahora de la ecuación de elipse,
[matemáticas] y = 3/2 * (4 – x ^ 2) ^ {1/2} [/ matemáticas] ……………………… .. (2b)
Por lo tanto, la ecuación 3 se convierte en
[matemática] dy / dx = -1.5x * (4 – x ^ 2) ^ {- 1/2} [/ matemática] ……………………… .. (4)
Entonces, la primera parte está completa. Podemos encontrar la pendiente de cualquier punto de la elipse usando solo su coordenada ‘x’.
Ahora, según nuestra primera hipótesis, la pendiente de la tangente (ecuación 4) del punto más cercano debe ser igual a la pendiente de la línea dada (ecuación 1).
Ahora, encontramos la pendiente de la línea dada.
Diferenciando la ecuación 1 con respecto a x, obtenemos ..
[matemáticas] dy / dx = -2 [/ matemáticas] ……………………… .. (5)
Esta es la pendiente de la línea. El RHS de esta ecuación debe ser igual al RHS de la ecuación 4. Al igualarlos juntos, obtenemos:
[matemáticas] -1.5x * (4 – x ^ 2) ^ {- 1/2} = -2 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] 3x / 4 = (4 – x ^ 2) ^ {1/2} [/ matemáticas]
Cuadrando ambos lados,
[matemáticas] 9x ^ 2/16 = 4 – x ^ 2 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] 25x ^ 2/16 = 4 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] x ^ 2 = 64/25 [/ matemáticas]
Tomando raíz cuadrada, obtenemos:
[matemáticas] x = 8/5, -8/5 = 1.6, -1.6 [/ matemáticas]
En consecuencia, de la ecuación 2b, y es
[matemáticas] y = 1.8, -1.8 [/ matemáticas]
Ahora, echemos un vistazo a la imagen … * También la pegaré aquí: p *
Vemos que las tangentes en los puntos [matemática] (- 1.6, -1.8) [/ matemática] y [matemática] (1.6, 1.8) [/ matemática] tienen la misma pendiente que la línea dada.
Ahora es fácil distinguir la distancia máxima y mínima de la línea.
Solo por observación, concluimos que [matemática] (1.6, 1.8) [/ matemática] es el punto más cercano a la línea dada [matemática] y = 10 – 2x [/ matemática]
Ahora para encontrar la distancia … * Perdón por la gran demora … 😉 *
Para una línea dada, [math] ax + by + c = 0 [/ math] la distancia perpendicular de cualquier punto [math] (x1, y1) [/ math] de la línea viene dada por
[matemáticas] d = | ax1 + by1 + c | / (a ^ 2 + b ^ 2) ^ {1/2} [/ matemáticas]
Al conectar los valores de a, b, c, x1 e y1 de la ecuación 1 y los resultados, obtenemos:
[matemáticas] d = | 2 * 1.6 + 1 * 1.8 – 10 | / (2 ^ 2 + 1 ^ 2) ^ {1/2} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] d = 5/5 ^ {1/2} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] d = 5 ^ {1/2} [/ matemáticas]
De ahí la solución.