Dependiendo de qué tan profundo quieras llegar, ¡la respuesta puede ser sí y no! Aquí elaboraré no solo en círculos, sino en cualquier curva / superficie / espacio suave (los matemáticos llaman a la idea general “múltiple”).
En el primer nivel, la respuesta es sí. Si amplía lo suficiente en cualquier superficie lisa, en una región suficientemente pequeña, se ve plana. Plano puede significar que se ve como una línea (en el caso de hacer zoom en una curva): 
Localmente, podemos aproximar cualquier curva por la línea que es tangente a ella.
Lo mismo es cierto para una superficie 2-d. Localmente, una superficie se parece a un plano, y podemos aproximar una superficie por el plano que es tangente a ella.
Esto se generaliza a múltiples de cualquier dimensión. Un colector es siempre “localmente plano”. Si observa una región suficientemente pequeña, puede aproximar esa región por espacio euclidiano n-dimensional.
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Es por eso que podemos usar mapas planos para observar áreas de la Tierra. En una región suficientemente pequeña, la Tierra se ve plana.
En el segundo nivel, la respuesta es no. La curvatura es una cantidad real y medible, y no desaparece al “acercarse”. Es cierto que los efectos de la curvatura son cada vez menos importantes si consideramos una región más pequeña. La curvatura de la Tierra no es importante si solo planea conducir 50 millas. Sin embargo, cuando comenzamos a hablar sobre volar 1000 millas, la curvatura se vuelve importante.
En Geometría diferencial, la curvatura se cuantifica mediante el tensor de curvatura de Riemann, que es un objeto matemático natural que le dice qué tan curva es la variedad (esto puede variar de un punto a otro en la variedad). “Acercar” a un punto no hará que el tensor de curvatura de Riemann desaparezca, siempre está ahí. No puede “suavizar” la curvatura al acercarla; simplemente ignore sus efectos limitándose a una región pequeña.
Volviendo de los múltiples generales al círculo, podemos pasar a otro nivel. En lugar de pensar en un círculo como una curva que vive en el plano, podemos pensar en el círculo como su propia variedad intrínseca unidimensional. ¡Ahora, resulta que una variedad unidimensional nunca puede tener una curvatura intrínseca! Simplemente no hay “suficiente espacio” cuando solo hay una dimensión para que exista la curvatura. Para ser más técnico: en las dimensiones 4 y superiores, la curvatura puede ser completamente general; en la dimensión 3, debe haber una curvatura de “Weyl” que se desvanece, por lo que la curvatura se caracteriza completamente por el tensor de Ricci, que es solo parte del tensor de curvatura de Riemann; en la dimensión 2, solo tenemos la traza del tensor Ricci (esta traza también se llama escalar Ricci), por lo que solo se necesita un número para describir la curvatura; cuando se despliega a 1 dimensión, no hay curvatura posible.