Comience con un poco.
Primero encuentre un centro [math] (a, b) \ in \ mathbf {R} [/ math] de su elipse.
Para eso definir nuevas coordenadas: [matemáticas] x = ua [/ matemáticas] y [matemáticas] y = vb [/ matemáticas].
[matemáticas] 8 (ua) ^ 2 + 4 (ua) (vb) [/ matemáticas] [matemáticas] + 5 (vb) ^ 2 – 24 (ua) -24 (vb) = 0 [/ matemáticas]
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Por lo tanto:
[matemáticas] 8u ^ 2 -16au + 8a ^ 2 + 4 (uv -bu – av + ab) + [/ matemáticas] [matemáticas] 5v ^ 2 -10bv + b ^ 2 -24u + 24a -24v + 24b = 0 [/matemáticas]
[matemáticas] 8u ^ 2 + 5v ^ 2 + 4uv – [/ matemáticas] [matemáticas] (16a + 4b + 24) u – (4a + 10b -24) v + [/ matemáticas] [matemáticas] – 8a ^ 2 + 4ab + b ^ 2 + 24a + 24b = 0 [/ matemáticas]
Para deshacernos de los términos lineales debemos elegir:
[matemática] \ begin {cases} 16a + 4b + 24 = 0 \\ 4a + 10b + 24 = 0 \ end {cases} [/ math]
Al resolverlo se obtiene [matemática] a = -1 [/ matemática], [matemática] b = -2 [/ matemática].
Entonces tenemos: [matemáticas] u = x-1 [/ matemáticas] y [matemáticas] v = y-2 [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que su elipse contiene un punto (0,0), por lo que si lo hicimos bien, debería pasar por el punto [matemático] (- 1, -2) [/ matemático] en las nuevas coordenadas.
Después de un cálculo fácil, obtienes:
[matemáticas] 8u ^ 2 + 4 uv + 5v ^ 2 = 36 [/ matemáticas]
Luego puedes hacer un poco de álgebra lineal (encontrar vectores propios) de la matriz de la forma cuadrática [matemática] 8u ^ 2 + 4 uv + 5v ^ 2 [/ matemática]:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 8 y 2 \\ 2 y 5 \ end {pmatrix} [/ math]
Los valores propios de esta matriz son 4 y 9.
Los vectores propios son respectivamente:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 \\ – 2 \ end {pmatrix} [/ math], [math] \ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math]
Tenga en cuenta que los vectores propios le muestran las direcciones de los ejes de su elipse.
Norma ellos (ambos tienen longitud [matemáticas] \ sqrt {5} [/ matemáticas])
Significa que si gira las coordenadas de la manera que
[matemáticas] \ begin {pmatrix} u \\ v \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ frac {1} {\ sqrt {5}} & \ frac {2} {\ sqrt {5}} \\ \ frac {-2} {\ sqrt {5}} & \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} w \\ z \ end {pmatrix} [/ math ]
su elipse obtiene la ecuación [matemáticas] 4w ^ 2 + 9z ^ 2 = 36 [/ matemáticas] o
[matemática] \ frac {w ^ 2} {9} + \ frac {z ^ 2} {4} = 1 [/ matemática] en nuevas coordenadas [matemática] w, z [/ matemática].
En estas coordenadas es bastante fácil anotar directrices y focos:
Encuentra ecuaciones de las condiciones de elipses dadas en las directrices, focos y vértices
Luego gire de nuevo primero a [math] (u, v) [/ math] coordina con [math] \ begin {pmatrix} \ frac {1} {\ sqrt {5}} & \ frac {2} {\ sqrt {5 }} \\ \ frac {-2} {\ sqrt {5}} & \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ end {pmatrix} ^ {- 1} = \ begin {pmatrix} \ frac {1 } {\ sqrt {5}} & \ frac {-2} {\ sqrt {5}} \\ \ frac {2} {\ sqrt {5}} & \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ end {pmatrix} [/ math] y luego traducirlos nuevamente para completar el trabajo.
PD: si no está familiarizado con álgebra lineal, valores propios, vectores propios y no desea usar estas cosas, puede encontrar una rotación para cambiar de [matemáticas] 8u ^ 2 + 4 uv + 5v ^ 2 = 36 [/ matemáticas] (*) a alguna forma normal (básicamente para deshacerse del término [math] uv [/ math]) de la siguiente manera:
Tome [math] u = w \ cos (\ alpha) + z \ sin (\ alpha) [/ math] y [math] v = – w \ sin (\ alpha) + z \ cos (\ alpha) [/ math ], conéctelos a (*) y elija [matemática] \ alpha [/ matemática], o más bien [matemática] \ sin (\ alpha) [/ matemática] y [matemática] \ cos (\ alpha) [/ matemática] para deshacerse del término mixto [matemáticas] wz [/ matemáticas].