¿Cuál es la forma estándar de una elipse?

Answer 1

Hay muchas formas diferentes de representar una elipse, la primera forma tiene la elipse simétrica sobre los ejes. En particular, cambiemos la elipse para que una de las líneas focales en el origen.

La segunda forma es para una elipse con un foco en el origen. Sea f la distancia desde el centro al foco. Sabemos [matemáticas] f = \ sqrt {a ^ 2-b ^ 2} [/ matemáticas]. Sea e la excentricidad y tengamos [matemáticas] 1-e ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} [/ matemáticas] y también dejemos [matemáticas] p = \ frac {b ^ 2} {a }[/matemáticas]

Desplazar la ecuación para que el foco izquierdo quede sobre el centro

[matemáticas] \ frac {(x + f) ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

reorganizar
[matemáticas] y ^ 2 = b ^ 2- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} (x + f) ^ 2 [/ matemáticas]

expandir
[matemáticas] y ^ 2 = b ^ 2- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} (x ^ 2 + 2f + f ^ 2) [/ matemáticas]

términos de pedido
[matemáticas] y ^ 2 = – \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} x ^ 2-2 \ frac {fb ^ 2} {a ^ 2} x + b ^ 2 (1- \ frac {f ^ 2 } {a ^ 2}) [/ matemáticas]

Usando ecuaciones para e, p, f = ae
[matemáticas] y ^ 2 = (e ^ 2-1) x ^ 2-2 \ frac {aeb ^ 2} {a ^ 2} x + b ^ 2 (1- \ frac {a ^ 2-b ^ 2} { a ^ 2}) [/ matemáticas]

[matemática] y ^ 2 = (e ^ 2-1) x ^ 2-2 ep x + \ frac {b ^ 4} {a ^ 2} [/ matemática]

[matemáticas] y ^ 2 = (e ^ 2-1) x ^ 2-2e p x + p ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 2

Hay muchas elipses además de las que están en la forma estándar. Si toma alguna ecuación cuadrática de la forma

[matemáticas] Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 [/ matemáticas]

donde [matemática] A, B, C, D, E, [/ matemática] y [matemática] F [/ matemática] son ​​constantes, el discriminante [matemático] B ^ 2-4AC [/ matemático] es negativo, entonces las soluciones formar una elipse (También hay una condición en [matemática] F [/ matemática] para asegurarse de que haya alguna solución). Pero esa elipse no necesita estar centrada alrededor del origen y sus ejes no necesitan estar alineados horizontal y verticalmente.

Por ejemplo, la ecuación

[matemáticas] 2x ^ 2 + 3xy + 7y ^ 2 + 6x-5y + 4 = 0 [/ matemáticas]

describe la elipse

Con un movimiento rígido del plano, puede moverlo para que esté centrado en el origen, y eso cambiará su ecuación. Además, puede rotarlo para que sus dos ejes se alineen con los ejes x e y . Eso también cambia la ecuación. Finalmente, puede mover la constante al otro lado de la ecuación y dividirla, y cuando haya terminado, la ecuación de la elipse resultante se verá como

[matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

Esa es la forma estándar para la ecuación de una elipse. Los dos ejes de simetría caen en los ejes x – e y y se cruzan en [matemáticas] (\ pm a, 0) [/ matemáticas] y [matemáticas] (0, \ pm b). [/ Matemáticas]

Answer 3

Una elipse no llega al infinito.
Por ejemplo, x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1, sustituyendo y = inf no dará ninguna solución real para x.
Puedes hacer lo mismo con la ecuación y ^ 2 = – 0.75x ^ 2 – 5x + 25.

Formalmente,
puedes decir :
y ^ 2 + 0.75 (x ^ 2 + x * 20/3 + 100/9) = 25 + 400/3
y ^ 2 + 0.75 (x ^ 2 + 10/3) ^ 2 = 25 + 400/3

Por lo tanto, elipse.

Answer 4

Bueno, con la forma estándar de la ecuación, sabemos dónde está el centro de la elipse, y sabemos la longitud del eje semi mayor y la longitud del eje semi menor. Esto nos da una descripción completa de la elipse.

Answer 5

Las dos ecuaciones posteriores se pueden cambiar a la forma estándar con el método de completar el cuadrado. Aquí no te mostraré el proceso porque es bastante fácil.