Si eliminó una de las condiciones para que la distancia perpendicular a los ejes x sea igual a la distancia al punto (4,2), entonces tiene una parábola con un foco en (4,2) y el eje x como directriz .
(Imagen del archivo wikipedia: partes de Parabola.svg)
La ecuación de esta parábola es
[matemáticas] \ begin {align} x ^ 2 & = (x-4) ^ 2 + (y-2) ^ 2 \\ & = x ^ 2-8 x +16 + y ^ 2 – 4 y +4 \ \ & = x ^ 2 + y ^ 2-8 x-4 y + 20 \ end {align} [/ math] o [math] y ^ 2-8 x-4 y + 20 = 0 [/ math].
Con la segunda condición obtendrá otra parábola [matemática] x ^ 2-8 x -4 y + 20 = 0 [/ matemática].
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Con ambas condiciones tendrá las intersecciones de dos parábolas, que se intersecarán en dos puntos.
Como las distancias a las dos líneas son iguales, las soluciones deben estar en la línea [matemáticas] y = x [/ matemáticas] (o [matemáticas] y = -x [/ matemáticas]). Es más fácil de resolver si encuentra la intersección de esta línea con una de las parábolas. sustituyendo y = x en la primera ecuación [matemáticas] y ^ 2-8 y -4 y + 20 = 0 [/ matemáticas]. Esto da [matemática] y ^ 2-12y + 20 = 0 [/ matemática] que tiene dos soluciones, que son fáciles de encontrar.