¿Encuentra cada punto cuya distancia desde cada uno de los dos ejes de coordenadas es igual a su distancia desde el punto (4, 2)?

Si eliminó una de las condiciones para que la distancia perpendicular a los ejes x sea igual a la distancia al punto (4,2), entonces tiene una parábola con un foco en (4,2) y el eje x como directriz .

(Imagen del archivo wikipedia: partes de Parabola.svg)
La ecuación de esta parábola es
[matemáticas] \ begin {align} x ^ 2 & = (x-4) ^ 2 + (y-2) ^ 2 \\ & = x ^ 2-8 x +16 + y ^ 2 – 4 y +4 \ \ & = x ^ 2 + y ^ 2-8 x-4 y + 20 \ end {align} [/ math] o [math] y ^ 2-8 x-4 y + 20 = 0 [/ math].

Con la segunda condición obtendrá otra parábola [matemática] x ^ 2-8 x -4 y + 20 = 0 [/ matemática].

Con ambas condiciones tendrá las intersecciones de dos parábolas, que se intersecarán en dos puntos.

Como las distancias a las dos líneas son iguales, las soluciones deben estar en la línea [matemáticas] y = x [/ matemáticas] (o [matemáticas] y = -x [/ matemáticas]). Es más fácil de resolver si encuentra la intersección de esta línea con una de las parábolas. sustituyendo y = x en la primera ecuación [matemáticas] y ^ 2-8 y -4 y + 20 = 0 [/ matemáticas]. Esto da [matemática] y ^ 2-12y + 20 = 0 [/ matemática] que tiene dos soluciones, que son fáciles de encontrar.

Distancia desde el eje X = [matemática] \ izquierda | y \ derecha | [/ matemática]
Distancia desde el eje Y = [matemática] \ izquierda | x \ derecha | [/ matemática]
Distancia desde (4,2), por teorema de Pitágoras: [matemática] \ sqrt {(x-4) ^ {2} + (y-2) ^ {2}} [/ matemática]

Igualar y resolver. No olvide considerar cada caso de [matemáticas] \ izquierda | x \ derecha | [/ matemáticas] y [matemáticas] \ izquierda | y \ derecha | [/ matemáticas].