Dado que [matemáticas] U [/ matemáticas] es un círculo unitario. ¿Cómo puedo mostrar que los puntos [matemática] M (\ frac {1} {2}; \ frac {\ sqrt {3}} {2}) [/ matemática] y [matemática] N (\ frac {-1} { 2}; \ frac {\ sqrt {3}} {2}) [/ math] son ​​de [math] U [/ math]?

Answer 1

Gracias por A2A. No sé a qué te refieres exactamente.

1) Si desea simplemente probar si un punto se encuentra en un círculo [matemática] (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = 1 [/ matemática] ([matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] se dan) conecta las coordenadas de los puntos en la ecuación tal como lo has hecho antes.

2) Siempre que tenga dos puntos [matemática] M = (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] N = (x_2, y_2) [/ matemática] tal que la distancia [matemática] | MN | = \ sqrt {( x_1 -x_2) ^ 2 + (y_1 -y_2) ^ 2} \ leq 2 [/ math] siempre hay al menos un círculo unitario que pasa por ambos puntos. En el caso general, [matemáticas] 0 <| MN | <2 [/ matemáticas], hay exactamente dos círculos unitarios

Geométricamente se ve así:

He dibujado solo un círculo (azul) que pasa por [matemáticas] M [/ matemáticas] y [matemáticas] N [/ matemáticas] (hay uno más arriba).

Bueno, si quieres encontrar las ecuaciones de estos círculos, puedes repetir la construcción geométrica.

a) Dibuje dos círculos unitarios con centros en [matemática] M [/ matemática] y [matemática] N [/ matemática] (se muestra con una línea perforada). Sus ecuaciones son [matemáticas] (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] (x-x_2) ^ 2 + (y-y_2) ^ 2 = 1. [ /matemáticas]
Describen loci de puntos que tienen una distancia [matemática] 1 [/ matemática] desde los puntos [matemática] M [/ matemática] resp. [matemáticas] N [/ matemáticas].

b) Encuentre la intersección de estos dos círculos perforados (en general, dos puntos). Describe loci de puntos que tienen una distancia [matemática] 1 [/ matemática] desde ambos puntos [matemática] M [/ matemática] y el punto [matemática] N [/ matemática].

Significa, resolver un sistema de ecuaciones en [matemáticas] x, y [/ matemáticas]

[matemáticas]
\ begin {cases}
(x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 = 1 \\
(x-x_2) ^ 2 + (y-y_2) ^ 2 = 1
\ end {casos}
[/matemáticas]

c) Sea [math] (x_0, y_0) [/ math] una solución del sistema.

Entonces un círculo [matemático] (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = 1 [/ matemático] es un círculo unitario que pasa por los puntos [matemático] M [/ matemático] y [matemático] N [/ matemático ]

3) Para encontrar el ángulo entre [math] OM [/ math] y [math] ON [/ math],
tenga en cuenta que [math] O = (0,0) [/ math], es decir [math] \ overrightarrow {MO} = \ left (\ frac {1} {2}; \ frac {\ sqrt {3}} { 2} \ right) [/ math] y [math] \ overrightarrow {NO} = \ left (- \ frac {1} {2}; \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right). [/ matemáticas]

Como [math] | MO | = | NO | = 1 [/ math] coseno el ángulo [math] \ alpha [/ math]
se da solo por el producto punto de dos vectores:

[matemáticas] \ cos \ alpha = – \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ frac {\ sqrt {3}} { 2} = \ frac {1} {2} [/ matemática] que corresponde al ángulo (agudo) [matemática] \ frac {\ pi} {3} [/ matemática].

Answer 2

Dibuja un triángulo rectángulo. OBN.O es origen.
EN nosotros claramente la hipotenusa. Digamos que es unidad de longitud. B se encuentra en el eje x a una distancia cos60 .N está por encima del eje x por la distancia sin 60. (x, y) coordina su es (cos60, sin60)
Recuerde que cualquier punto de la forma (cos (a), sin (a)) satisface la ecuación x ^ 2 + y ^ 2 = 1 (ecuación del círculo unitario). Por qué ? Sustituya cos (a) y sin (a) por x e y para ver la primera identidad en trigonometría.

Answer 3

“Tengo ideas en mi mente pero mi problema es que no puedo escribirlas como fórmulas matemáticas”

Esto es algo extraño que decir. Las matemáticas se explican y se expresan usando oraciones y lógica en inglés. En ocasiones, las fórmulas se intercalan como taquigrafía, pero son innecesarias y, de hecho, hasta finales de la Edad Media no se utilizaron en absoluto.

Entonces … me pregunto … ¿tienes una idea aquí? Creo que probablemente no. Sé honesto y no pienses que lo que te estás perdiendo es una “fórmula”.

La idea que necesita para probar que OMN es equilátero es mostrar que la distancia entre M y N es 1. Ya demostró que OM y ON tienen una longitud 1 porque están en un círculo unitario. Entonces, si el tercer lado del triángulo es 1, el triángulo es equilátero.

Ahora, ¿cuál es la longitud de MN? Puedes usar el teorema de Pitágoras para calcular esto. Es la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la diferencia xy el cuadrado de la diferencia y.

Answer 4

Usted ve que la ecuación general de un círculo es
x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2
donde x e y son las coordenadas en el círculo an r es la distancia desde el centro O.

En coordenadas polares cuando dibujas una línea desde O hasta el punto (x, y) se forma un ángulo, por ejemplo, i.

Usando triginometría, verá que para el punto x, y (en general)
x = r • cos (i)
y = r • sin (i)
Ponga esto en la ecuación general anterior.
Usted obtiene
(cos (i)) ^ 2 + (sin (i)) ^ 2 = 1
entonces cualquier valor angular de i i i = 60 ° será parte del círculo. Cuando r = 1
x = cos (60 °) = 1/2
ey = √3 / 2.
que se encuentra en un círculo unitario.
Del mismo modo, tome i = 120 °.
O simplemente ponga cualquier valor que satisfaga la primera ecuación general de un círculo. Será un punto en el círculo.