¿Cuál es la forma más fácil de entender los simplices? Bueno, comienza dibujando un triángulo, ahí está tu 2-simplex. Si quieres subir uno más, toma cuatro de esos, pégalos a lo largo de sus bordes entre sí en un tetraedro y tendrás tu 3-simplex. ¿Quieres ir más allá? Se necesitará un poco de deformación mental para estar seguro, pero se puede hacer. Un 4-simplex es como un triángulo o un tetraedro, simplemente existe en un espacio que es difícil de visualizar, lo que generalmente recomendaría es pensar en la cuarta dimensión espacial como el tiempo. Entonces, de esta manera podemos pensar en triángulos en una dimensión: simplemente lo cortamos con una línea y observamos la intersección del triángulo con la línea. Serán dos puntos (excepto en los momentos en que la línea solo atraviesa las esquinas, en cuyo caso la intersección será un punto, o cuando la línea esté a lo largo de una de las caras, en cuyo caso obtenemos un segmento de línea), y a medida que movemos la línea, vemos que estos puntos se acercan o se acercan entre sí, de acuerdo con las líneas anguladas del triángulo. Podemos hacerlo de nuevo, intersectando un plano con un tetraedro, excepto que en este caso las intersecciones serán triángulos, y a medida que avanzamos el plano con el tiempo, comenzaremos con un punto, que se expande en un triángulo, que se hace más grande hasta que obtenga un triángulo grande totalmente lleno en el momento en que el plano se encuentra en la dirección de una de las caras del tetraedro. Si queremos hacer esto con un 4-simplex, tomaremos “cortes” tridimensionales, y lo que veremos dentro del corte a medida que pase el tiempo será un tetraedro en crecimiento. De esta manera, puede comenzar a imaginar el 4-simplex como la forma que, cuando se corta con rodajas tridimensionales, da un continuo de tetraedros.
Si tiene ganas de expandir así la idea geométrica a dimensiones superiores, se necesita un poco más de creatividad, pero una vez que se sienta cómodo pensando en el caso de 4 dimensiones, comenzará a ver que comprende cómo expandir esa intuición a dimensiones superiores.
Cómo construir un ejemplo visual de un Simplex para poder dibujarlo y, por lo tanto, entenderlo mejor
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Un espacio afín puede considerarse como un espacio vectorial al que se agregan traducciones, de modo que el origen del espacio vectorial no es importante. Una combinación afín es una combinación lineal de vectores para la cual la suma de los coeficientes de los vectores es igual a 1.
Entonces, sí, la definición de un simplex permite que esté en cualquier lugar de R ^ n; el origen no es importante.
Luego tomas el casco convexo de los puntos afines independientes para obtener el símplex. El casco convexo es el conjunto convexo más pequeño que contiene todos los puntos.
Si su dibujo parece un paralelogramo, probablemente haya elegido demasiados puntos en R ^ 2; solo se pueden elegir tres de estos puntos en R ^ 2 y definirán un 2-simplex, que será un triángulo.
En R ^ 3 obtendrías algo que se parece a un tetraedro.
Una [matemática] n [/ matemática] – tenue. simplex es solo el casco convexo de [math] n + 1 [/ math] puntos en [math] \ mathbf {R} ^ n [/ math]. No se permite que estos puntos [matemáticos] n + 1 [/ matemáticos] se encuentren en el mismo hiperplano.
Si un conjunto convexo contiene dos puntos, entonces, por definición, contiene un segmento de línea entre ellos.
Significa que si comienzas con dos puntos diferentes [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] en [matemática] \ mathbf {R} ^ 1 [/ matemática], obtienes un segmento de línea entre ellos .
Si comienzas con 3 puntos en [math] \ mathbf {R} ^ 2 [/ math] que no se encuentran en la misma línea, obtendrás primero todos los lados del triángulo. Después de obtenerlos, obtienes todos los puntos dentro del triángulo (triángulo de relleno) simplemente construyendo segmentos de línea entre los puntos en sus lados.
De la misma manera, si comienzas con 4 puntos en [math] \ mathbf {R} ^ 3 [/ math] que no se encuentran en el mismo plano, obtendrás un tetraedro.
Primero obtienes sus bordes, luego sus caras (como en el caso de un triángulo), y luego todos los puntos dentro de él.
Verá que el límite de un símplex 3D consiste en cuatro símplex 2D.
En general, el límite de [math] n [/ math] -dimensional simplex consiste en [math] n + 1 [/ math] simplexes de dimensión [math] n-1 [/ math].
Hay un distinguido, estándar [matemático] n [/ matemático] -dimensional simplex dado por:
[matemáticas] S_ {n} = \ {(x_1, \ ldots, x_n) \ in \ mathbf {R} ^ {n} [/ matemáticas] [matemáticas]: x_1 + x_2 + \ ldots + x_n \ leq 1, [ / math] [math] x_ {i} \ geq 0, i = 1, \ ldots, n \} [/ math].
Geométricamente, esos son puntos que se encuentran debajo del hiperplano [matemática] x_1 + x_2 + \ ldots + x_n = 1 [/ matemática] en el hiperoctante positivo.
Obtiene cualquier simplex en [math] \ mathbf {R} ^ n [/ math] simplemente enviando
[matemáticas] S_ {n} \ ni (x_1, x_2, \ ldots x_n) \ mapsto [/ math] [math] (1-x_1 -x_2 – \ ldots -x_n) v_0 + x_1 v_1 + \ ldots x_ {n} v_n [/ math],
donde [math] v_0, v_1, \ ldots v_n \ in \ mathbf {R} ^ n [/ math] son [math] n + 1 [/ math] puntos no coplanares.