Si dibuja un cuadrado perfecto dentro de un círculo para que cada esquina toque el círculo, y luego dibuje otro cuadrado fuera del mismo círculo para que el círculo toque cada lado del cuadrado exterior, el área total de los 4 espacios entre el interior ¿El cuadrado y el círculo son iguales al área total de los cuatro espacios entre el círculo y el cuadrado exterior?

Answer 1

Deje que el círculo tenga unidades de radio [matemáticas] r [/ matemáticas]. Entonces el cuadrado exterior tendría sus lados iguales al diámetro del círculo, es decir, [math] 2r [/ math] unidades. El cuadrado interior tendría sus diagonales iguales al diámetro del círculo. Según el teorema de Pitágoras, los lados del cuadrado interior serían, por lo tanto, [matemáticas] r \ sqrt 2 [/ matemáticas] unidades de largo.

El área total de los 4 espacios entre el cuadrado interior y el círculo es [matemática] \ pi r ^ 2 – (r \ sqrt 2) ^ 2 = \ pi r ^ 2 – 2r ^ 2 = (\ pi – 2) r ^ 2 [/ matemáticas].

El área total de los cuatro espacios entre el círculo y el cuadrado exterior es [matemáticas] (2r) ^ 2 – \ pi r ^ 2 = 4r ^ 2 – \ pi r ^ 2 = (4 – \ pi) r ^ 2 [ /matemáticas].

Dado que [matemáticas] 4- \ pi \ aproximadamente 0.8584 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pi-2 \ aproximadamente 1.1416 [/ matemáticas], la respuesta es no . De hecho, podemos decir más: el área total de los 4 espacios entre el cuadrado interior y el círculo siempre será mayor que el área total de los cuatro espacios entre el círculo y el cuadrado exterior, sin importar cuán grande o pequeño sea el radio de El círculo es.

Answer 2

Supongamos que el radio del círculo es 1. La longitud del borde del cuadrado exterior será el doble del radio, por lo que es 2 y el área será 4. La diagonal del cuadrado pequeño será 2. Puede usar Pitágoras para mostrar el borde La longitud del cuadrado pequeño debe ser √2 (como (√2) ² + (√2) ² = 2 + 2 = 4 = 2²). Esto hace que el área del cuadrado pequeño 2. (Podría resolver esto sin usar Pitágoras). Sabemos que el área del círculo es πr² = π en nuestro caso.

Ahora el área de 4 espacios entre el círculo y el cuadrado interior = área del círculo – área del cuadrado = π-2 ≈ 1.14.

El área de cuatro espacios entre el cuadrado exterior y el círculo = área del cuadrado exterior – área del círculo = 4 – π ≈ 0.86.

TLDR: no.