Comencemos con la expresión para el campo eléctrico de una esfera hueca cargada.
[matemáticas]
\ mathbf {E (\ mathbf {r})} = \ left \ {
\ begin {array} {lr}
\ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} r ^ 2} &: r> R \\
0 &: r <R
\ end {array}
\derecho.
[/matemáticas]
La ley de Gauss nos dice que el campo eléctrico dentro de una esfera es cero ya que cualquier posible dentro de la superficie cerrada de la esfera no contiene ninguna carga, mientras que afuera, una esfera hueca cargada se comporta como una carga puntual.
El potencial eléctrico entre dos puntos se define de la siguiente manera:
[matemáticas]
\ int_ {a} ^ {b} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {dl} = V (a) – V (b) [/ math]
- ¿Los paralelogramos en la misma base y entre las mismas líneas paralelas son iguales en área?
- ¿Por qué un avión puede considerarse una esfera?
- Si se dan 4 puntos en algún orden, ¿podría encontrar si los 4 puntos forman un paralelogramo?
- ¿Cuántos lados y curvas tiene un círculo?
- ¿Hay algún otro origen de Pi que no sea la circunferencia / diámetro?
El potencial eléctrico siempre se define con respecto a algún otro potencial. Por conveniencia, a menudo expresamos potencial electrostático con respecto al potencial en “infinito”, que declaramos cero, por lo tanto
[matemáticas]
\ int_ {r} ^ {\ infty} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {dl} = V (r) – V (\ infty)
[/matemáticas]
Suponiendo que [math] r> R [/ math], la integral se evalúa como:
[matemáticas] \ int_ {r} ^ {\ infty} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {dl} = \ frac {Q _} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} \ int_ {r} ^ {\ infty } \ frac {dr} {r ^ 2} [/ math]
Por el contrario, suponiendo que [math] r \ leq R [/ math] obtenemos:
[matemáticas]
\ int_ {r} ^ {\ infty} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {dl} = \ int_ {r} ^ {R} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {dl} + \ int_ {R} ^ {\ infty} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {dl} = \ int_ {R} ^ {\ infty} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {dl} = \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0} R}
[/matemáticas]
Al final, podemos escribir:
[matemáticas]
V (r) = \ left \ {
\ begin {array} {lr}
\ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} r} &: r> R \\
\ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} R} &: r \ leq R
\ end {array}
\derecho.
[/matemáticas]
Ahora, por supuesto, esta integral se evaluó de manera apresurada. Asumimos que la integral de línea puede evaluarse como una integral simple sin tener en cuenta la ruta de integración. Sin embargo, se ha demostrado que E es un campo conservador, lo que implica que si tomamos una línea integral de A a B, será independiente de la ruta que conecta los dos. De hecho, todo el punto de introducir un campo potencial (escalar) sería inútil si E no fuera conservador.