Cómo puede usar la regla de participación [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow0} \ frac {\ sin {x}} {x} = 1 [/ matemáticas] para demostrar que el área y la circunferencia del círculo con radio r están dadas por [matemáticas] \ pi r ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 \ pi r [/ matemáticas] respectivamente?

Answer 1

Estoy de acuerdo con la respuesta de Bence sobre el uso de un conocimiento de la circunferencia
C y radio r para dividir el círculo en infinitos triángulos infinisimales para sumar el área a ser rC / 2 y conociendo C = 2pi podemos calcular el área como pi.r ^ 2

Sin embargo, la ecuación sin (x) -> x para x pequeña, implica que x está en radianes, lo que implica que ya sabemos que hay 2.pi radianes en un círculo.
Y un radián se define por un sector con una longitud de arco igual al radio.
Por lo tanto, la ecuación que proporcionó se basa en el conocimiento de que C = 2.pi.r
Y así, la ecuación dada no se puede decir que sea la base para la prueba de algo que se supone.

Sobre un tema relacionado. El área de superficie de una esfera se calcula mostrando que es la misma área que el cilindro envolvente. 4.pi.r ^ 2
Y el volumen está tomado de conos infinitésimales,
base_area.r / 3 = (4/3). pi.r ^ 3

Answer 2

Considere un círculo de radio [matemática] r [/ matemática] y un n-gon inscrito. Entonces la circunferencia del n-gon inscrito está dada por [matemáticas] n \ cdot 2 \ cdot r \ sin (\ frac {2 \ pi / n} {2}) = 2r \ cdot \ frac {\ sin (\ frac {\ pi} {n})} {\ frac {1} {n}} \ rightarrow 2 \ pi r [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math].

Si consideramos un n-gon circunscrito, entonces su circunferencia está dada por [matemáticas] n \ cdot 2 \ cdot r \ tan (\ frac {2 \ pi / n} {2}) = 2r \ cdot \ frac {\ sin (\ frac {\ pi} {n})} {\ frac {\ cos (\ frac {\ pi} {n})} {n}} \ rightarrow 2 \ pi r [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math].

Luego tenemos que la circunferencia del círculo viene dada por [matemática] 2 \ pi r [/ matemática] donde solo hemos utilizado esa [matemática] \ lim \ frac {\ sin (x)} {x} = 1 [/ matemáticas], pero esto también es una consideración geométrica.

El método para calcular el área del círculo es análogo.

Answer 3

Solo puedo encontrar un método intuitivo corto: la circunferencia es la suma de las partes ds del círculo: el límite indica que podemos usar la coordenada y (r * sin (theta)) como una aproximación de ds, y Tenemos que sumar de 0 a 2 Pi. Para el área, puede encontrar fácilmente un elemento de área dA: es un triángulo (se deduce de la idea anterior y ~ theta) con dos mismos lados “r” y el tercero es, en lugar del elemento de arco ds, una línea recta, y (esto hace un triángulo rectángulo). Su área se puede calcular como r * y / 2, es decir, r * r * sin (theta) / 2. Esto debe resumirse de theta = 0 a theta = 2pi (y esto conduce a integrales).