En un triángulo rectángulo con altitud MP a la hipotenusa, proyecte P en la hipotenusa, a ambos lados. ¿Por qué es cierto que la raíz cúbica del segmento corto en el lado corto, dividida por la raíz cúbica del segmento largo en el lado largo, es igual al Tan del ángulo opuesto al lado corto?

Answer 1

Deje que el triángulo tenga lados a, b, c con c la hipótesis y h sea la altura. P divide la hipotenusa en longitudes dye. La proyección de P divide b en longitudes f, i y a en longitudes j y g.

Lo primero a tener en cuenta es que tenemos muchos triángulos similares, con el lado más corto primero (a, b, c), (h, d, b), (e, h, a), (j, f, d), (i, j, h) y (g, i, e). Como son similares, las proporciones de las longitudes de los bordes son las mismas a: b: c = h: d: b = e: h: a = j: f: d = i: j: h = g: i: e. Dividir el lado corto por la hipótesis da fracciones a / c = h / b = e / a = j / d = i / h = g / e, dividiendo el lado medio por la hipótesis da b / c = d / b = h / a = f / d = j / h = i / e y dividir el lado corto por el lado medio da fracciones a / b = h / d = e / h = j / f = i / j = g / i. Esta última fracción es el bronceado del ángulo.

Vamos a encontrar el cubo del bronceado, use los tres triángulos más pequeños.
[matemáticas]
\ begin {align}
\ tan ^ 3 \ theta & = \ frac {g} {i} \ frac {i} {j} \ frac {j} {f} \\
= \ frac {g} {f}
\ end {alinear}
[/matemáticas]
por lo tanto, el bronceado es la raíz cúbica de esto, que es solo [matemática] \ tan \ theta = \ sqrt [3] {\ frac {g} {f}} [/ matemática].