Dado que la constante de Planck reducida depende de Pi, ¿permanece igual si nos movemos de la geometría euclidiana a la geometría riemanniana?

No confunda el número real [math] \ pi \ in \ mathbb {R} [/ math] con la relación geométrica de la longitud del perímetro de un círculo con la longitud de su diámetro, y no confunda ninguna de estas cosas con física y realidad física.

Por razones históricas, cuando se pensaba que las matemáticas describían la realidad, [matemática] \ pi [/ matemática] se definía como la relación del perímetro al diámetro de un círculo. Hoy en día se sabe que esta relación depende de la geometría subyacente y es diferente entre la geometría euclidiana y la de Riemann. Sin embargo, la constante real [math] \ pi [/ math] no se ve afectada.

Se utilizan diferentes modelos matemáticos para describir la realidad en física. La constante de Planck aparece en algunos de estos modelos. La constante de Plank reducida (que involucra [math] \ pi [/ math]) se usa como una cuestión de conveniencia de notación , nada más. Si se requiriera alguna otra variable (como la relación real del perímetro de un círculo con respecto a su diámetro), eso se usaría en ecuaciones que describan el modelo. Nada de esto afectaría [math] \ pi [/ math] en lo más mínimo.

El número real [math] \ pi \ in \ mathbb {R} [/ math] es el número que hace verdadera la identidad de Euler (que involucra otras cuatro constantes matemáticas fundamentales):

[matemáticas] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ matemáticas]

Esto será cierto para los números complejos, [math] \ mathbb {C} [/ math], [math] \ pi [/ math] será [math] \ pi [/ math], [math] e [/ math ] será [matemática] e [/ matemática], y [matemática] i [/ matemática] será [matemática] \ sqrt {-1} [/ matemática], por mucho tiempo después de que las vacas hayan regresado a casa, tome nota de lo que hacen los físicos …

[matemáticas] [\ alpha_ \ beta] [/ matemáticas]

No veo cómo la constante de Planck h depende de π . Sus unidades de medida son joule segundos y dependen de unidades arbitrarias.

Hay algo llamado la constante reducida de Planck [matemáticas] \ hbar [/ matemáticas] definida por

[matemáticas] \ hbar = \ frac h {2 \ pi} [/ matemáticas]

entonces la relación entre ellos tiene que ver con π , pero su valor también depende de unidades arbitrarias.

Estos son relevantes a distancias y tiempos muy pequeños, y para cosas muy pequeñas la curvatura debe ser extrema para tener algún efecto, de lo contrario la geometría será plana, es decir, Euclidiana.

Si. Pi tiene el mismo valor en todas las geometrías. Es una constante matemática, y se puede definir de formas que no tienen nada que ver con círculos, como el límite de 4 * (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 …).

Lo que sucede en las geometrías no euclidianas es que pi no es necesariamente la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro, aunque siempre es el límite de esto cuando el diámetro se aproxima a cero.

Ya vivimos en un universo no euclidiano, y la constante de Planck todavía usa el mismo pi como si viviéramos en un universo euclidiano.

Las unidades de la constante de Planck, y su “forma reducida”, la constante de Dirac, son en realidad acción / (frecuencia angular). Entonces \ (h \) se mide en algo así como 2.5025 E-33 pies pdl s / radian, y 1.5724025 pies pdl s / ciclo.

Las métricas son bastante descuidadas aquí y, por lo tanto, distinguen la medida pro-angular usando una barra para la medida en radianes y no una barra para la medida en círculo.

Debido a que el ángulo tiene un contexto lineal, no cambia en la geometría no euclidiana.