Encontré una manera fácil de hacer esto sin transformaciones de coordenadas originales.
Entonces el área dada por
[matemáticas]
\ left (| x | ^ p + | y | ^ p \ right) ^ \ frac {1} {p} \ leq 1
[/matemáticas]
es
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[matemáticas] 4 \ int_0 ^ 1 \ sqrt [p] {1-x ^ p} dx [/ matemáticas]
donde he dividido eso en 4 piezas, tomé el área de la pieza superior derecha y la multipliqué por 4.
Ahora deje que [math] u = x ^ p [/ math], luego [math] dx = \ frac {1} {p} u ^ {\ frac {1-p} {p}} du [/ math]. Esto da:
[matemáticas] \ frac {4} {p} \ int_0 ^ 1 u ^ {\ frac {1} {p} -1} \ left (1-u \ right) ^ \ frac {1} {p} du [/ matemáticas]
que es lo mismo que la función beta de Euler
[matemáticas] \ frac {4} {p} \ beta \ left (\ frac {1} {p}, \ frac {1} {p} +1 \ right) [/ matemáticas]
que es lo mismo que
[matemáticas] \ frac {4} {p} \ frac {\ Gamma \ left (\ frac {1} {p} \ right) \ Gamma \ left (\ frac {1} {p} + 1 \ right)} { \ Gamma \ left (\ frac {2} {p} + 1 \ right)} [/ math] (*)
pero sabemos que
[matemáticas]
\ frac {1} {p} \ Gamma \ left (\ frac {1} {p} \ right) = \ Gamma \ left (\ frac {1} {p} + 1 \ right)
[/matemáticas]
Entonces la ecuación (*) se convierte en
[matemáticas] 4 \ frac {\ Gamma \ left (\ frac {1} {p} + 1 \ right) ^ 2} {\ Gamma \ left (\ frac {2} {p} + 1 \ right)} [/ matemáticas]
Cual es la respuesta. BAM!
¡Creo que acabo de hacer la tarea de alguien gratis! De nada. Le di a mis neuronas un ejercicio de 15 minutos.