Cómo describir el área de un cuadrado en términos de integrales en coordenadas polares

Answer 1

Está integrando el área triangular infinitesimal que se muestra en la figura, con [matemática] \ theta [/ matemática] que va desde [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] \ frac {\ pi} {2} [/ matemática] .
Un poco de reflexión revela que el área de ese triángulo es [matemáticas] \ frac {r ^ {2} d \ theta} {2} [/ matemáticas]. Entonces la integral se convierte

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ frac {r ^ {2} d \ theta} {2} [/ matemáticas]

Un poco más de reflexión revela que [math] r = \ frac {1} {\ cos \ theta} [/ math] para [math] 0 <\ theta <\ frac {\ pi} {4} [/ math] y [ math] r = \ frac {1} {\ sin \ theta} [/ math] para [math] \ frac {\ pi} {4} <\ theta <\ frac {\ pi} {2} [/ math]. Entonces, la integral se convierte en:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ frac {d \ theta} {2 \ cos ^ {2} \ theta} + \ int _ {\ pi / 4} ^ {\ pi / 2} \ frac {d \ theta} {2 \ sin ^ {2} \ theta} [/ math]

Mostrar que esto es igual a 1 se deja como ejercicio para el lector …