Si se da un polígono de 4 lados cuyas 6 distancias de vértice a vértice, ¿podemos decir si es un cuadrado?

Answer 1

Respuesta: sí.

Prueba: Esta será una prueba rigurosa, más de lo que usted (e incluso yo) podría haber esperado. No puedo hacer ningún dibujo aquí, ya que tomará mucho tiempo, así que hágalo usted mismo o si puede hacerlo mentalmente, bien por usted.

La primera observación a realizar sería, que en el primer grupo de cuatro distancias iguales de vértice-vértice, dos de ellas deben ser lados. Ahora demostremos algunos lemas útiles.

Lema 1: si en un cuadrilátero, dos lados opuestos son iguales, ambas diagonales son iguales y los otros dos lados opuestos también son iguales, tiene que ser un rectángulo .

Prueba: Primero, considere el caso cuando dos lados opuestos son iguales y ambas diagonales son iguales. Digamos que el cuadrilátero es [matemática] ABCD, AB = CD, AC = BD [/ matemática]. Sabemos que una diagonal se puede representar como la suma vectorial de los dos lados con los que es concurrente. [matemáticas] \ vec {CA} = \ vec {CB} + \ vec {CD}, \ vec {BD} = \ vec {BA} + \ vec {BC} [/ matemáticas]. Con esto, es fácil ver que [matemática] \ angle ABC = \ angle BCD [/ math]. Del mismo modo, [matemáticas] \ angle DAB = \ angle CDA [/ math]. Lo que significa [matemáticas] \ ángulo DAB + \ ángulo ABC = \ pi [/ matemáticas], lo que implica [matemáticas] BC \ paralelo AD [/ matemáticas]. Esto lo convierte en un trapecio simétrico. Ahora imponga la restricción de que [matemática] BC = DA [/ matemática] y obtenga un rectángulo.

Lema 2: si en un cuadrilátero, dos lados adyacentes son iguales, las diagonales son iguales y los otros dos lados adyacentes son iguales, nuevamente tiene que ser un rectángulo .

Prueba: De nuevo, diga [matemática] ABCD, AB = BC, CD = DA, AC = BD [/ matemática]. Nuevamente [matemáticas] \ vec {AC} = \ vec {AB} + \ vec {BC}, \ vec {DB} = \ vec {AB} – \ vec {BC} [/ math], demostrando que [matemáticas] \ ángulo ABC = \ frac {\ pi} {2} [/ math]. Del mismo modo [matemáticas] \ ángulo CDA = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]. Además, [matemáticas] \ vec {DB} = \ vec {DA} + \ vec {AB} = \ vec {CB} + \ vec {DC} [/ matemáticas], lo que demuestra que [matemáticas] \ ángulo DAB = \ ángulo BCD [/ math], que usando el resultado anterior también significa [math] \ angle DAB = \ angle BCD = \ frac {\ pi} {2} [/ math], lo que demuestra el lema.

Lema 3: si en un cuadrilátero, tres lados adyacentes son iguales y una de las diagonales es igual a los tres lados, tiene que ser un rombo con ángulo [matemático] \ frac {\ pi} {3} [/ matemático].

Prueba: Digamos que tenemos [matemática] ABCD, AB = BC = CD = AC [/ matemática]. Claro para ver que [matemática] \ triángulo ABC [/ matemática] es equilátero por lo tanto [matemática] \ ángulo ABC = \ frac {\ pi} {3} [/ matemática] y fácil de probar [matemática] \ ángulo BCD = \ frac {2 \ pi} {3} [/ matemáticas]. Ahora, cuando conectaremos A y D para dibujar AD, podemos ver que tiene que ser paralelo a BC porque [matemática] AB = CD [/ matemática], lo que demuestra que es un paralelogramo y, por lo tanto, un rombo.

Ahora armados con estos, estamos listos para abordar la prueba real.

Teorema : si 4 de 6 distancias vértice-vértice de un cuadrilátero son iguales y las otras dos también son iguales entre sí, entonces tiene que ser un cuadrado.

Prueba: Primero considere el caso cuando en el primer grupo, dos de ellos son lados. Los dos lados iguales pueden ser adyacentes u opuestos. En cualquier caso, tenemos un rectángulo. Ahora ambas diagonales también son iguales a estos dos lados. En un rectángulo, las diagonales son mayores que cualquier lado, se pueden ver fácilmente con el teorema de Pitágoras, lo que hace imposible el caso considerado.

Ahora considere que tres lados son iguales, una de las diagonales también es igual a ellos y el cuarto lado es igual a la otra diagonal pero no igual a los otros tres lados. Pero en este caso es un rombo, lo que significa que el cuarto lado tiene que ser igual a los otros tres, lo que hace que incluso este caso sea imposible.

Ahora considere que los cuatro lados son iguales y ambas diagonales son iguales, entonces es claramente un cuadrado, lo que demuestra nuestro resultado final.

QED

Answer 2

Si.

La prueba es sorprendentemente simple.

Dado que se dan 6 distancias entre un grupo de 4 vértices, sabemos la distancia de cada vértice de cada vértice. Si A, B, C, D son los vértices, entonces estas distancias son, AB, BC, CD, DA, BD, AC.

Ahora, es suficiente establecer que con esta información dada, puede construir uno, y solo uno, polígono ABCD, es decir, solo es posible una construcción única (en cuyo caso, puede medir los ángulos y verificar si es un cuadrado o no).

Construcción poligonal única:

1. Dibuje BC a lo largo de la horizontal como su base de referencia para toda construcción adicional

2. Usando distancias AB, AC, trace el punto A. Puede trazarlo en cualquier lado de BC. Deje que el que está sobre el eje horizontal se llame A y el que está debajo como A ‘

3. Trace los puntos D y D ‘de manera similar.

4. Usando la distancia AD, tenga en cuenta que solo un punto de D y D ‘podría emparejarse con el punto A para crear el polígono deseado. El punto A ‘podría emparejarse de manera similar con el otro punto de D y D’ para crear otra versión del polígono deseado.

5. Ambas versiones del polígono deseado son imágenes especulares entre sí a lo largo del eje horizontal y, por lo tanto, representan el mismo polígono único.

Por lo tanto, es posible determinar sus ángulos de manera única y saber si es un cuadrado o no.

Answer 3

Dadas 6 distancias vértice-vértice con nombres de vértices, podemos volver a dibujar cualquier cuadrilátero en un espacio bidimensional. Dado que sus conclusiones no involucran nombres de vértices, señalaría un caso excepcional.

AB = BC = AC = AD

y

BD = CD

¡Esto no es un cuadrado seguro!