Bueno, resulta que esta es una pregunta interesante después de todo. En tres dimensiones, la forma con la menor cantidad de área de superficie por volumen contenido es una esfera. Aumentar el volumen al infinito significa también aumentar el área de la superficie al infinito. Entonces podemos concluir que el límite del área de superficie a medida que el volumen llega al infinito, es infinito.
Ahora, consideremos formas de más de 3-D. Diga un Tesseract:
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Un tesseract es un cubo 4-D.
Si le preguntara qué área podría contener un cubo tridimensional, probablemente se imaginaría apostando papel dentro del cubo. Cuanto más delgado es el papel, más área. A medida que el grosor se aproxima a cero, el área se vuelve infinita. Entonces, una cantidad infinita de área está contenida en un cubo tridimensional.
Si le pregunto qué volumen tridimensional (3 volúmenes) puede contener un cubo 4-D, debería imaginarse apilando cubos 3-D. Dado que los bloques tienen una altura cero en la cuarta dimensión, son equivalentes a nuestro papel infinitamente delgado. Podemos apilar infinitos cubos 3-D en un cubo 4-D. Ergo, el volumen 3 contenido en un cubo 4-D es infinito. Sin embargo, las superficies de un tesseract son en realidad cubos tridimensionales en un espacio 4-D, por lo que si queremos calcular el área de la superficie, sumamos el área alrededor de cada uno de estos cubos para obtener un volumen finito. En consecuencia, tenemos un volumen infinito de 3 con una cantidad finita de área de superficie. Nota: Sin embargo, esto es un truco. En eso es como sumar la longitud de todos los lados de un cubo para decidir la longitud total que contiene el volumen de un cubo. Si no quiero hacer trampa, definiré el área de superficie de la misma manera que tomé el volumen y tendré un área de superficie infinita alrededor de mi volumen infinito. Realmente solo depende de cómo queremos definir el área de superficie en dimensiones más altas.
Tan divertido como fue ahora, veamos algo más real. Nuestro universo es en realidad 4-D (espacio curvo). Si eres nuevo en el espacio curvo, es similar al espacio de Minkowski, ya que la cuarta dimensión es el tiempo a lo largo de un eje imaginario. Ahora imaginemos que nuestro universo era un universo cerrado de tamaño finito. Tal universo se cerró sobre sí mismo si vas lo suficientemente lejos y terminas de regreso donde empezaste. En cualquier momento, no hay superficie que encierre el volumen 3 en las direcciones izquierda, derecha, adelante, atrás, arriba o abajo. En un universo cerrado, el pasado distante es un punto. Todo comenzó en un solo punto, por lo que el área de superficie en el tiempo para el pasado es 0. El futuro de un universo cerrado también es un punto único. Por lo tanto, este universo con un volumen finito de 3 volúmenes en cualquier momento y un volumen finito de 4 dimensiones (4 volúmenes) en general no tiene área de superficie. Si extrapolamos el tamaño del universo al infinito, aún no tenemos área de superficie.
Por lo tanto, un volumen infinito en el espacio-tiempo no puede tener área de superficie.
La respuesta, e incluso si un volumen infinito debe tener una superficie, depende de la topología que se discute.
Ahora la otra pregunta es ¿PUEDE un volumen infinito una superficie? La respuesta siempre es sí. Imagina un lago. Si el lago fuera infinitamente profundo, todavía tendría una superficie en la parte superior del lago. Independientemente de cuál sea la topología del agua debajo de la superficie, todavía tenemos una superficie donde el agua se encuentra con el aire para nuestro volumen infinito.
En última instancia, la respuesta es un volumen infinito PUEDE O NO PUEDE tener una superficie, y si tiene una superficie, esa superficie PUEDE ser infinita o puede ser finita.