Hay al menos media docena de formas de definir funciones trigonométricas. Cualquiera de ellos servirá, y luego puede demostrar que son equivalentes al resto de las definiciones.
- Las funciones de activación para ángulos agudos se pueden definir en términos de triángulos rectángulos. La similitud de los triángulos asegura que estén bien definidos. Luego se pueden extender para obtener ángulos obtusos y otros.
- La definición del círculo unitario funciona bien. Coloque un ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] en la posición estándar, y luego la intersección del lado que no está en el eje x con el círculo unitario tiene coordenadas [matemática] (\ cos \ theta, \ sin \ theta) [ /matemáticas].
- Puede definir el arcotangente en términos de una integral [matemática] \ displaystyle \ arctan x = \ int_0 ^ x \ frac1 {1 + t ^ 2} \, dt [/ math]. La función inversa a arcotangente define la tangente. Puede definir seno y coseno en términos de tangente por [math] \ sin \ theta = \ dfrac {2 \ tan \ theta / 2} {1+ \ tan ^ 2 \ theta / 2} [/ math] y [math] \ cos \ theta = \ dfrac {1- \ tan ^ 2 \ theta / 2} {1+ \ tan ^ 2 \ theta / 2} [/ math].
- Puede definir seno y coseno como las soluciones para el par de ecuaciones diferenciales [matemática] \ dfrac {dx} {d \ theta} = – y [/ matemática] y [matemática] \ dfrac {dy} {d \ theta} = x [/ math] sujeto a las condiciones iniciales [math] x (0) = 1 [/ math] y [math] y (0) = 0 [/ math]. Entonces [math] x (\ theta) = \ cos \ theta [/ math] y [math] y (\ theta) = \ sin \ theta [/ math].
- Puede usar series de potencia para definirlas: [matemáticas] \ cos x = 1- \ dfrac {x ^ 2} {2!} + \ Dfrac {x ^ 4} {4!} – \ dfrac {x ^ 6} { 6!} + \ Cdots [/ math] y [math] \ sin x = x- \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ Dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7 } {7!} + \ Cdots [/ math].
- Puede definirlos en términos de la función exponencial compleja. [matemáticas] \ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sen x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {- ix }} {2i} [/ matemáticas].
Una vez que tenga cualquiera de estos como definición, puede mostrar que los demás son válidos, y también puede mostrar todas las demás propiedades de las funciones trigonométricas.