¿Cuál es el número de tripletes (a, b, c) de enteros de modo que a, b, c son lados de un triángulo con el perímetro 21?

Answer 1

Podemos suponer [math] a, b, c \ in \ mathbb N [/ math], con [math] a \ le b \ le c [/ math], y sabemos que [math] a + b + c = 21 [/ matemática] y [matemática] c <a + b [/ matemática]. Por lo tanto, [math] 2c <a + b + c \ le 3c [/ math], de modo que [math] 7 \ le c \ le 10 [/ math].

Si [matemática] c = 7 [/ matemática], [matemática] a + b = 21-c = 14 [/ matemática], y la única posibilidad para [matemática] (a, b) [/ matemática] es [matemática] (7,7) [/ matemáticas].

Si [matemática] c = 8 [/ matemática], [matemática] a + b = 21-c = 13 [/ matemática], y las únicas posibilidades para [matemática] (a, b) [/ matemática] son ​​[matemática] (8,5) [/ matemáticas] y [matemáticas] (7,6) [/ matemáticas].

Si [matemática] c = 9 [/ matemática], [matemática] a + b = 21-c = 12 [/ matemática], y las únicas posibilidades para [matemática] (a, b) [/ matemática] son ​​[matemática] (9,3) [/ matemáticas], [matemáticas] (8,4) [/ matemáticas], [matemáticas] (7,5) [/ matemáticas] y [matemáticas] (6,6) [/ matemáticas].

Si [matemática] c = 10 [/ matemática], [matemática] a + b = 21-c = 11 [/ matemática], y las únicas posibilidades para [matemática] (a, b) [/ matemática] son ​​[matemática] (10,1) [/ matemáticas], [matemáticas] (9,2) [/ matemáticas], [matemáticas] (8,3) [/ matemáticas], [matemáticas] (7,4) [/ matemáticas] y [ matemáticas] (6,5) [/ matemáticas].

Hay [matemática] 12 [/ matemática] triángulos con lados integrales del perímetro [matemática] 21 [/ matemática]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

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Pregunta. Cuente el número de triángulos con lados integrales y perímetro [matemática] n [/ matemática], para cada [matemática] n \ in \ mathbb N [/ matemática], [matemática] n \ ge 3 [/ matemática].

Answer 2

Generalización:

Considere tripletas [matemáticas] (a, b, c) [/ matemáticas] (donde [matemáticas] a \ leq b \ leq c [/ matemáticas]) de enteros positivos. Defina la función [math] f: \ mathbb {N} \ backslash \ {1,2 \} \ rightarrow \ mathbb {N} [/ math]. [math] f (n) [/ math] denota el número de trillizos que representan los lados de un triángulo con perímetro [math] n [/ math]. Queremos una forma cerrada para [math] f (n) [/ math].

Para nuestra pregunta específica, [matemáticas] n = 21 [/ matemáticas].

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Responder:

Este es un problema resuelto; La solución es la secuencia de Alcuin. En general, la respuesta es [matemáticas] f (n) = \ boxed {\ begin {cases} [\ frac {n ^ 2} {48}] & \ text {,} n \ equiv 0 \ mod {2} \ \ [\ frac {(n + 3) ^ 2} {48}] & \ text {, de lo contrario} \ end {cases}} [/ math], donde [math] [x] [/ math] denota el número entero más cercano función.

Para nuestra pregunta específica, la respuesta es [matemática] f (21) = [\ frac {(21 + 3) ^ 2} {48}] = \ boxed {12} [/ math].

Answer 3

La propiedad del triángulo que se aplicaría aquí es que
“La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercer lado “.

a + b + c = 21

21-1 = 20
20/2 = 10
función entera inferior (10) = 10
=> 10 puede ser el lado más grande del triángulo .

21 + 1 = 22
22/2 = 11
mayor función entera (11) = 11
11-10 = 1
=> 1 puede ser el lado más pequeño del triángulo .

Solo por un ejemplo, si a + b + c = 20, entonces –

20-1 = 19
19/2 = 9.5
función entera más baja (9.5) = 9
=> 9 será el mejor lado posible.

20 + 1 = 21
21/2 = 10.5
gif (10.5) = 11
11-9 = 2
=> 2 será el lado más pequeño posible.

Volviendo al problema:

Comience desde arriba.

Caso 10:
Tome un lado como 10 y piense en los otros dos números de modo que su suma sea 11.
Lo que obtienes son
10 1 10
10 2 9
10 3 8
10 4 7
10 5 6

Caso 9:
Tome un lado como 9 y piense en los otros dos números de modo que su suma sea 12.
9 9 3
9 8 4
9 7 5
9 6 6

Caso 8:
Tome un lado como 8 y piense en descansar dos números de modo que su suma sea 13.
8 8 5
8 7 6

Caso 7:
Tome un lado como 7 y piense en otros dos números de modo que su suma sea 14.
7 7 7

Entonces, en general, tienes 12 trillizos .

PD: Esto también se puede considerar como un problema de agrupación y distribución en permutaciones y combinaciones , donde 21 chocolates se dividirán entre 3 niños de modo que cada niño reciba al menos un chocolate y ningún niño reciba más de 10 chocolates .

Gracias. 🙂

Edición 1 : Dado que a , tienes –
2 9 10
3 8 10
4 7 10
5 6 10
4 8 9
5 7 9
6 7 8

Por lo tanto, tienes 7 trillizos en este caso.

En el lenguaje de las permutaciones y combinaciones, ahora parecería que 21 chocolates se dividen entre 3 niños de manera que cada niño reciba al menos un chocolate, ningún niño reciba más de 10 chocolates y no dos niños obtengan el mismo número de chocolates .