¿Por qué es constante la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro?

Answer 1

Bien, tratemos de resolver este problema usando la analogía. Suponga que tiene un cuadrado de longitud lateral x. Ahora, coloque la foto del cuadrado en su computadora portátil y acerque y aleje. Obtendría algunos cuadrados con una longitud lateral mayor que x y unos pocos con una longitud lateral menor que x. Cada vez, observará que la relación entre el perímetro del cuadrado y la longitud de su diagnóstico permanece constante. En el caso de figuras regulares que tengan un número par de lados, observará que la proporción del perímetro de la figura a la longitud de la diagonal más grande es siempre la misma. Puede probar esto con cualquier polígono regular, pero el resultado seguirá siendo el mismo, ya sea un hexágono regular o un decágono o un octágono.

Esto sucede porque todos los cuadrados son similares. De hecho, todos los polígonos regulares son similares entre sí. Todos los cuadrados, todos los decágonos regulares, todos son similares. Por motivos similares, todos los círculos son similares también, lo que lleva a una relación fija entre su perímetro (también puede llamarse circunferencia) y el diámetro (el diámetro es análogo al diagnóstico más grande) y esta relación es lo que llamamos [matemáticas] \ pi [ /matemáticas].

Editar 1- Acabo de notar que a medida que aumenta el número de lados en un polígono regular que tiene un número par de lados, el valor de la relación del perímetro a la longitud del diagnóstico más grande también aumenta y alcanza 3.14159265358979323846 …… para un círculo ( considere un círculo como un polígono que tiene [math] \ infty [/ math] número de lados).

Answer 2

Todos los círculos son similares, por lo tanto, dos medidas lineales son proporcionales.

Rectángulos Para ver cómo funciona, mira otra figura que no sea un círculo, digamos, un rectángulo. Aquí hay dos rectángulos similares WXYZ y LMNO.

Tome dos medidas lineales entre estas: ancho, largo, perímetro, diagonal. Tomemos perímetro y diagonal. La razón del perímetro del primero a la diagonal del primero es 14/5. La razón del perímetro del segundo a la diagonal del segundo es 28/10, lo que equivale a 14/5. El perímetro de estos rectángulos similares es proporcional a la diagonal de los rectángulos. La constante de proporcionalidad aquí es 14/5.

Círculos Todos los círculos son similares, es decir, tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños. Al igual que el perímetro de rectángulos similares es proporcional a la diagonal de los rectángulos, la circunferencia de los círculos es proporcional al diámetro de los círculos. La constante de proporcionalidad es π, es decir, la circunferencia de un círculo dividido por su diámetro es π.

Answer 3

“Euclides demostró que esta relación (C / d) es siempre la misma, sin importar el tamaño del círculo. Lo que hizo fue inscribir polígonos regulares similares en cualquiera de los dos círculos. Luego, aumentó el número de lados de los polígonos regulares inscritos Razonó que a medida que aumentaba el número de lados, el perímetro
del polígono inscrito se acerca más y más a la circunferencia del círculo. También mostró que los perímetros de los polígonos similares eran proporcionales a los radios de los círculos en los que estaban inscritos. Y así, C es proporcional a r, en otras palabras, C / r es una constante. Por convención, pi = C / 2r. Y podemos usar eso como nuestra definición de pi “.