Una línea recta hace una intersección en el eje y dos veces más larga que la del eje x y está a una unidad de distancia del origen. ¿Cuál es su ecuación?

Dejemos que la intersección y sea (0, 2n) y la intersección x sea (n, 0). Esto satisface la primera premisa de la pregunta.

Por lo tanto, la pendiente es [matemáticas] \ frac {2n – 0} {0 – n} [/ matemáticas] = -2. De esto podemos deducir que la ecuación de la línea es y = -2x + 2n. Podemos reescribir esto en la forma 2x + y – 2n = 0.

Se nos da que la línea está a una distancia de 1 del origen. La distancia desde una línea de ecuación Ax + By + C = 0 hasta un punto [math] (x_ {1}, y_ {1}) [/ math] es: [math] \ frac {| Ax_ {1} + By_ {1} + C | } {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} [/ math].

Por lo tanto, la distancia desde la línea 2x + y – 2n = 0 al origen es [matemática] \ frac {| -2n |} {\ sqrt {5}} [/ matemática].

Se supone que esto es igual a 1. Por lo tanto, n puede ser [math] \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ math] o [math] – \ frac {\ sqrt {5}} {2 } [/matemáticas]. Sustituyendo estos valores en 2x + y – 2n = 0 o y = -2x + 2n nos da nuestras ecuaciones deseadas.

Primero concentrémonos en el primer cuadrante.

Deje que la línea corte el eje X en A (a, 0) y el eje Y en B (0,2a).

O siendo el origen, ¿cuál es el área del triángulo AOB = (1/2) * OA * OB = a ^ 2…. (yo)

Ahora, ¿cuál es la longitud de AB?

Por Pitágoras, es sqrt (a ^ 2 + 4a ^ 2) = sqrt (5) a.

La línea AB está a una distancia 1 de O. Caiga un OH perpendicular de O en AB de modo que OH = 1.

De esta manera, el área del triángulo AOB = (1/2) * OH * AB = (1/2) * 1 * (sqrt (5)) a…. (ii)

Igualar (i) y (ii):

a = sqrt (5) / 2.

Ahora, puedes ver fácilmente que la ecuación. de la línea es x / a + y / 2a = 1.

Debe hacer esto en los 4 cuadrantes para obtener los signos correctos de las ecuaciones. es decir, tome todas las combinaciones posibles x / y positivas / negativas para obtener todas las líneas posibles.