¿Por qué el área de una esfera es igual al área lateral del cilindro abierto circunscrito?

Answer 1

No siempre es así. Consideremos una situación en la que un cilindro rodea la esfera como se muestra en la figura

Solo en esta situación, cuando la altura del cilindro es igual a su diámetro (y, por lo tanto, a la esfera), las áreas de superficie serán iguales. Tomemos el diámetro de la esfera es D, o su radio es R viz. D / 2. Igual será el radio del cilindro y su altura será 2R.

El área de superficie de la esfera es 4πR ^ 2.

El área de la superficie excluyendo la parte superior e inferior del cilindro será, el perímetro del círculo superior × altura, 2πR × 2R = 4πR ^ 2.

Entonces, en estas condiciones, el área de la esfera y el cilindro serán iguales. Por lo tanto, el estado de estado de Archemedes es verdadero, ya que la altura de la esfera circundante del cilindro será igual a su diámetro. Una cosa más, el área y el volumen de la esfera es función de una sola variable, su radio. Pero para encontrar el área y el volumen del cilindro, necesitamos especificar dos variables de radio y altura.

Answer 2

Zachary Abel lo explica bien en su entrada de blog Superficies esféricas y cajas de sombreros

No es solo que toda la esfera tenga un área igual al área lateral de un cilindro circunscrito, sino que la porción de la superficie esférica entre dos planos paralelos a la base del cilindro tendrá la misma área que la de la porción del cilindro. entre los planos En la figura anterior, la banda verde inclinada en la esfera tiene la misma área que la banda verde vertical en el cilindro. Eso a veces se llama el teorema de la caja de sombreros de Arquímedes.

Las traducciones de Heath de las obras de Arquímedes se encuentran en el Archivo de Internet. Las obras de Arquímedes incluyen En la esfera y el cilindro . Su método consistía en aproximar la banda verde inclinada de la esfera con una rodaja de cono y encontrar el área de la rodaja cónica.

Ahora es mucho más fácil usar cálculo para encontrar el área de una esfera. Arquímedes también usó infinitesimales para descubrir el área, pero cuando escribió Sobre la esfera y el cilindro , usó las pruebas geométricas tradicionales similares a las de Euclides y otros geómetras griegos. Primero lo descubrió usando métodos infinitesimales descritos en su Método de teoremas mecánicos . Eso fue descubierto en 1906.

Answer 3

¿Puede ser posible si considera la proporcionalidad de las superficies? Imagine el caso especial donde divide las superficies entre dos (un plano horizontal que corta su figura exactamente en dos partes simétricas); Esto conservaría proporciones. ¿Podría ser algebricamente generalizado (por ejemplo, considerando el sector esférico como resultado de una resta)?