¿Por qué el área del rectángulo es su longitud por su ancho, es decir, es solo definitoria, hay una prueba o ambas cosas juntas?

Answer 1

No estoy seguro si está buscando una respuesta simple o una respuesta rigurosa:

Respuesta simple:
Cuando la longitud se hace mitad (o doble), vemos que el área también se hace mitad (o doble).
Cuando la anchura se hace a la mitad (o doble), vemos que esa área también se hace a la mitad (o doble).
Esto nos dice que el área es directamente proporcional a la longitud y anchura.
Entonces A = klb, donde k es una constante.
Por ejemplo, si l = 4cm & b = 8cm, entonces A = 32 cm ^ c (aquí k = 1) o A = 0.0032 m ^ 2 (aquí k = 0.0001)
Por ejemplo, si l = 2m & b = 6m, entonces A = 12 m ^ c (aquí k = 1) o A = 120000 cm ^ 2 (aquí k = 10000)
Si queremos que el área use unidades similares como la longitud y la anchura, entonces K = 1 siempre, entonces A = lb.

Respuesta rigurosa:
Las matemáticas se basan en definiciones, axiomas y teoremas. El área está “DEFINIDA” como longitud * anchura. Consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Area#Formal_definition:
”
Un enfoque para definir lo que se entiende por “área” es a través de axiomas. El “área” se puede definir como una función de una colección M de tipos especiales de figuras planas (denominadas conjuntos medibles) al conjunto de números reales que satisface las siguientes propiedades:
–
–
Cada rectángulo R está en M. Si el rectángulo tiene longitud h y ancho k, entonces a (R) = hk.
–
–
”

Ahora, usando esta definición, podemos preguntar por qué el área del triángulo es lb / 2 o el área del círculo es 2 * PI * r, etc. Pero el rectángulo es l * b y no podemos probarlo o preguntar por qué, porque lo hemos tomado como Un axioma .

Answer 2

No es solo una definición, sino que en realidad implica una prueba bastante difícil. Se sigue de la Proposición 1, Libro VI, de Elementos de Euclides . Esa proposición establece que los Triángulos y paralelogramos que están bajo la misma altura son el uno al otro como sus bases. Por lo tanto, un rectángulo [math] \ ell \ times w [/ math] tiene un área que es [math] \ ell [/ math] veces un rectángulo [math] 1 \ times w [/ math] y, por lo tanto, [math] \ ell w [/ math] veces un [math] 1 \ times 1 [/ math] cuadrado.

Entonces, ¿cómo demuestras que el área de los rectángulos con un ancho dado es proporcional a su longitud? (Ese es el caso especial de la Proposición 1 que necesitamos aquí).

Si la razón de sus longitudes es un número racional, no es demasiado difícil. Suponga que la relación es [matemática] m / n [/ matemática]. Eso significa que [math] m [/ math] copias de un rectángulo colocado de extremo a extremo da un rectángulo grande congruente con el rectángulo que obtienes cuando colocas [math] n [/ math] copias del otro rectángulo de extremo a extremo. Entonces [math] m [/ math] multiplicado por el área del primero es igual a [math] n [/ math] multiplicado por el área del segundo. Por lo tanto, sus áreas están en la misma relación [matemática] m / n [/ matemática] que sus longitudes.

Si la razón de sus longitudes no es un número racional, es mucho más difícil demostrarlo porque tienes que definir lo que significa que dos razones, una de longitudes y la otra de áreas, sean iguales. Esa es la definición de Eudoxus, y Euclides pasó todo el Libro V dedicado a desarrollarlo. En matemáticas modernas, es la definición de Dedekind de números reales, y subyace a las teorías modernas de análisis, incluida la teoría de la medida.

Answer 3

Se puede probar de muchas maneras dependiendo de lo que asumas cuando te propongas probar.

Suposición:
El área del triángulo es = 1/2 * base * altura
Prueba:
Dibuja una diagonal y divide el rectángulo en dos mitades iguales (triángulos), con la longitud como la base del triángulo y el ancho como la altura (o viceversa).
Entonces, el área del rectángulo = 2 * (Área del triángulo) = largo * ancho.
(Se puede usar el mismo principio de dividir en triángulos, para obtener el área de cualquier polígono).

Suposición:
El área se define como el número de cuadrados unitarios contenidos en la forma dada.
Prueba:
Como ya lo demostró el Sr. Sahaj,
Cuente el número de cuadrados unitarios que es la multiplicación directa.

Y así.
Puede ser probado por integrales,
que es una suma de nivel micro al igual que la unidad de suma cuadrada.

Por lo tanto, depende de con qué suposiciones comience.

Answer 4

Área es la cantidad de espacio bidimensional que ocupa un objeto bidimensional.

Considere el rectángulo colocado de tal manera que su longitud y ancho tengan la misma dirección que las dos dimensiones horizontales del espacio, respectivamente.

Si el ancho del rectángulo es constante, entonces su área es proporcional a su longitud:

A = k * L

Si la longitud del rectángulo es constante, entonces su área es proporcional a su ancho:

A = k * W

Combinando los dos, concluimos que el área es proporcional tanto al ancho como al largo:

A = k * L * W

El factor de proporcionalidad, k , depende solo de las unidades, por lo tanto, si el área se mide con la forma cuadrada de las mismas unidades de longitud por las cuales se mide la longitud y el ancho, entonces k = 1 y:

A = L * W

QED

Answer 5

La forma en que el área se define típicamente, cuando preguntamos cuál es el área de alguna figura, preguntamos cuántos cuadrados de 1 x 1 unidad (podrían ser pulgadas, pies, cm, m) en los que podríamos dividirla. Para un rectángulo, digamos [math] m \ times n [/ math] podemos ajustar [math] m [/ math] filas de [math] n [/ math] (o alternativamente [math] n [/ math] filas de [matemática] m [/ matemática]) cuadrados, es decir, [matemática] m \ veces n [/ matemática] cuadrados totales para dar el área deseada.

Como Sahaj mencionó, la definición del área de un rectángulo y la definición de multiplicación son, en su mayor parte, equivalentes. Tenga en cuenta, por ejemplo, que calcular el producto 13 x 11 es equivalente a encontrar el área de un rectángulo de 13 x 11 y viceversa.

Al definir rigurosamente una métrica de área con algunos axiomas, probablemente pueda probar esto formalmente, pero para mí, la intuición es suficiente aquí.

Answer 6

El área de un rectángulo es la longitud por el ancho porque estás calculando las unidades cuadradas del rectángulo. Una unidad cuadrada es simplemente un cuadrado que [matemática] 1 \ por 1 [/ matemática] unidades. Por lo tanto, multiplicando los cuadrados totales en la longitud del rectángulo por los cuadrados totales en el ancho del rectángulo le da el total de cuadrados [matemáticos] 1 \ por 1 [/ matemáticos] en el rectángulo. Es por eso que el área está en unidades cuadradas (por ejemplo, pulgadas cuadradas, centímetros cuadrados, millas cuadradas, etc.).

Lo mismo se aplica con los cubos y el volumen.

Answer 7

Si considera el rectángulo anterior, está definido o limitado por cuatro líneas rectas, x = x1, x = x2, y = y1, y = y2.

Entonces, cuando integras el área formada por esas líneas, terminarás multiplicando la longitud y la anchura.

Answer 8

El área representa la extensión de una figura bidimensional. Intuitivamente, el área del rectángulo se puede considerar como l (la longitud del rectángulo) elimina cada una de las longitudes b (la amplitud del rectángulo) en cola una detrás de la otra, “l veces b”. Dividir b por l (o l por b) es como dividir b en l piezas que definitivamente no te dan la extensión del rectángulo.

Dependiendo de qué tan profundo desee ir matemáticamente, puede encontrar múltiples pruebas de área de rectángulo en la web. Algunos comienzan definiendo el área de la unidad como área del cuadrado de los lados de la longitud de la unidad.

Solo agregaré que el área de un rectángulo (y un cuadrado) es más básica y fundamental entre las áreas de todas las figuras. Puede usar la fórmula para el área del rectángulo para encontrar áreas de otras figuras. Incluso el área bajo una curva [matemática] f (x) [/ matemática], que es [matemática] \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx [/ matemática], puede entenderse como la suma de áreas de rectángulos con amplitud [matemática] f (x) [/ matemática] y longitud infinitesimal [matemática] dx [/ matemática].
Por lo tanto, está bien definir el área del rectángulo como longitud por ancho en lugar de derivarlo. Esto resuelve la mayoría de los problemas prácticos.