Si a es la pata de al menos un triple pitagórico primitivo, ¿cuántos triples pitagóricos primitivos contienen la pata a?

Answer 1

No hay triple pitagórico que contenga [matemáticas] 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

Para cada [math] n \ ge 3 [/ math], existe un triple pitagórico primitivo con [math] n [/ math] como una de las patas del triángulo rectángulo:

[matemática] \ grande (n, \ frac {1} {2} (n ^ 2–1), \ frac {1} {2} (n ^ 2 + 1) \ grande) [/ matemática] if [matemática] n [/ math] es impar ;

[math] \ big (n, \ frac {1} {4} n ^ 2–1, \ frac {1} {4} n ^ 2 + 1 \ big) [/ math] if [math] n [/ math ] es par .

---

Deje que [math] \ omega (n) [/ math] denote el número de divisores primos de [math] n [/ math]. El número de tripletas pitagóricas primitivas que contienen [matemáticas] n [/ matemáticas] como una de las patas es igual

[matemática] 2 ^ {\ omega (n) -1} [/ matemática] si [matemática] 4 \ mid n [/ matemática] o [matemática] 2 \ nmid n [/ matemática], y [matemática] 0 [/ matemática] si [matemática] 2 \ mid n [/ matemática], [matemática] 4 \ nmid n [/ matemática].

Además, el número de tripletas pitagóricas primitivas que contienen [matemáticas] n [/ matemáticas] (incluso como hipotenusa) es igual a

[matemática] 2 ^ {\ omega (n) -1} [/ matemática] si [matemática] 4 \ mid n [/ matemática], y [matemática] 0 [/ matemática] si [matemática] 4 \ nmid n [/ matemáticas] para pares [matemáticas] n; [/ matemáticas]

[matemática] 2 ^ {\ omega (n)} [/ matemática] si no hay primo de la forma [matemática] 4k + 3 [/ matemática] divide [matemática] n [/ matemática] y [matemática] 2 ^ {\ omega (n) -1} [/ math] si [math] n [/ math] tiene un divisor primo de la forma [math] 4k + 3 [/ math] para impar [math] n. [/ math]

---

Para pruebas de esto, y para contar triples pitagóricos (no solo triples primitivos), puede leer http://www.fq.math.ca/Papers1/46…

Answer 2

Puedo responder el caso simple primero que solo concierne a la hipotenusa (lado más largo del triángulo).

Primer factor a en primos.

Si la multiplicidad de cualquier primo = 3 (mod 4) es impar, NO hay soluciones. Si no, el número de soluciones puede calcularse a partir de las multiplicidades de los primos que son = 1 (mod 4). Las multiplicaciones de los primos = 3 (mod 4) no tienen efecto sobre el número de soluciones.

Aquí hay una publicación de blog que escribí al respecto:

Cuadrados en progresión aritmética

Observe que los triples pitagóricos y las progresiones aritméticas de los cuadrados están en correspondencia 1-1, por lo que este es el mismo problema.

Por ejemplo, la progresión aritmética de los cuadrados 1 ^ 2, 5 ^ 2, 7 ^ 2 (el valor del paso es 24) corresponde al triplete (3,4,5). El valor medio del AP es la hipotenusa y las dos últimas la mitad de la diferencia / suma de los otros valores:

Es decir:

3 = (7-1) / 2, 4 = (7 + 1) / 2

Answer 3

Diophantus mostró que todos los triples son de la forma

a = (i ^ 2 – j ^ 2) k, b = 2ijk, c = (i ^ 2 + j ^ 2) k

Para triples primitivos, k = 1 e i y j de paridad opuesta, de modo que b es el único par. Si el número que está buscando es par, hay un triple primitivo para cada factorización de b / 2 en uno impar y uno par, por lo tanto, n necesita al menos ser un múltiplo de 4: b = 30 no puede funcionar, pero b = 60 puede tener:

i = 10, j = 3 dando 91 ^ 2 + 60 ^ 2 = 109 ^ 2

i = 6, j = 5 dando 11 ^ 2 + 60 ^ 2 = 61 ^ 2

i = 15, j = 2 dando 221 ^ 2 + 60 ^ 2 = 229 ^ 2

i = 30, j = 1 dando 899 ^ 2 + 60 ^ 2 = 901 ^ 2

Si el número que está buscando es impar, interprete cada factorización como (i + j) (ij):

15 = 5 * 3 dando i = 4, j = 1, entonces 15 ^ 2 + 8 ^ 2 = 17 ^ 2

15 = 15 * 1 dando i = 8, j = 7, entonces 15 ^ 2 + 112 ^ 2 = 113 ^ 2