Vectores: ¿Cómo puedo probar que el rectángulo cuyas diagonales están igualmente divididas en dos es un paralelogramo?

Answer 1

Considere un cuadrilátero genérico y sus diagonales rojas que se cruzan en O. Las diagonales determinan cuatro triángulos, a saber

• cualquier otro negocio
• BOC
• BACALAO
• DOA

que tienen un ángulo en común, que en O, entonces el triángulo BOC y el triángulo AOD tienen ángulos iguales en O. La misma afirmación se aplica a los triángulos AOB y DOC.

Si las diagonales se dividen en dos partes iguales, las cosas se ponen un poco más interesantes. Considere, por ejemplo, los triángulos opuestos BOC y AOD. El ángulo AOD es igual al ángulo BOC, el lado BO = DO y el lado AO = OC.

Siguiendo los criterios de similitud (geometría), el triángulo AOD y BOC son similares, por lo que sus ángulos son iguales. Considere el ángulo ACB y el ángulo DAC. Son ángulos correspondientes en triángulos similares, por lo que son iguales.

Como consecuencia, los lados AD y BC deben ser paralelos. Por supuesto, la misma declaración se aplica a los triángulos AOB y DOC, por lo que incluso los lados AB y CD deben ser paralelos.

Pero estos triángulos son más que similares: al ser similares y tener lados correspondientes de igual longitud, deben ser congruentes para que BC = AD y AB = CD.

Resumiendo, si las diagonales están igualmente divididas en dos, el cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos y de igual longitud, por lo tanto debe ser un paralelogramo

Answer 2

Las diagonales dividen el cuadrilátero (“cuadrilátero” es el término general para la figura de cuatro lados; no use “rectángulo” aquí porque eso significa que hay cuatro ángulos rectos, y todos los rectángulos son paralelogramos automáticamente) en cuatro triángulos. Cada uno de estos triángulos es congruente con el opuesto que es fácil de mostrar.