Te sugiero que resuelvas este problema sin siquiera usar cálculo. Imagine desenrollar el cono en una porción de un disco circular (una cuña). La longitud de la porción curva de la cuña es la misma que la circunferencia de la base del cono, que también es [matemática] 2 \ pi r [/ matemática]. Entonces la longitud diagonal [matemática] H = \ sqrt {h ^ 2 + r ^ 2} [/ matemática] es el radio de la cuña formada. El área total de un disco formado con este radio es [matemática] \ pi H ^ 2 [/ matemática], pero solo tenemos una fracción [matemática] f [/ matemática] de esa cuña dada por la relación de [matemática] f = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {2 \ pi r} {2 \ pi H} = \ frac {r} {H} [/ matemáticas]. Entonces, el área de la porción curva del cono es [matemática] A_c = f \ veces \ pi H ^ 2 = [/ matemática] [matemática] \ pi H r [/ matemática]. Ahora, si también desea incluir la base del cono, entonces, por supuesto, debe agregar el área de la base, a través de [matemática] A = A_c + [/ matemática] [matemática] \ pi r ^ 2 [/ matemática] . Entonces la respuesta final es
[matemáticas] A = \ pi r (r + \ sqrt {h ^ 2 + r ^ 2}) [/ matemáticas].