Primero, ¿qué es la “geometría”? En realidad, hay una especie de respuesta sutil que solo surgió a fines del siglo XIX, a raíz de tratar de comprender el papel que desempeñaban las geometrías no euclidianas en el marco matemático general.
Según esta comprensión moderna, la “geometría” es el estudio de cantidades o conceptos que son invariables bajo alguna colección de transformaciones. La geometría clásica , lo que los antiguos griegos hacían con bordes rectos y brújulas, es el estudio de cosas que son invariables bajo “movimientos rígidos”. Es decir, el tipo de movimientos que preservan las distancias entre todos los puntos de la cosa que se mueve … sin flexión, estiramiento, etc.
Tomemos un ejemplo: el concepto de ángulo es muy útil en geometría clásica. ¿Por qué? En el contexto de esta comprensión moderna, la respuesta es que los ángulos se conservan bajo movimientos rígidos: si tiene alguna figura con un ángulo de 47 grados, luego mueva esa figura rígidamente en algún lugar, terminará con un ángulo de 47 grados en otro lugar.
Si hojea su colección de conceptos de geometría, encontrará que todos se ajustan a la factura: área, longitud, ángulo, volumen, líneas paralelas, etc.
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Bien, entonces, ¿qué es la geometría diferencial ? Es el estudio de cosas que son invariables bajo una clase más amplia de transformaciones: los llamados “diffeomorfismos”. Estas son transformaciones que provienen de funciones diferenciables con inversas diferenciables. Si no sabe lo que significa “diferenciable”, desafortunadamente no es el momento de explicarlo exactamente. Pero daré dos datos: primero, la diferenciabilidad es uno de los primeros temas que uno aprende en el cálculo; y segundo, la mayoría de las funciones que puede escribir son diferenciables. El punto es que la “diferenciabilidad” no es un concepto exótico y especial.
¿Cuáles son los temas de interés en geometría diferencial? Obviamente, la lista es bastante larga y a veces muy técnica porque la geometría diferencial es un campo bastante maduro. Pero algo con lo que la mayoría de las personas se puede identificar es la curvatura. Uno de los temas históricamente tempranos en geometría diferencial involucraba formas de definir y comprender la curvatura.
Tomemos, por ejemplo, una parábola:
Sin ser demasiado técnico, tiene sentido intuitivo decir que una parábola está más curvada cerca de su vértice que lejos de ella. Pero, ¿cómo se define rigurosamente eso? ¿Se puede decir, para cierta parábola … o curva, o superficie, u objeto de mayor dimensión … que la curvatura en tal y tal punto es 1.3? (O tal vez la “curvatura” necesita más información que un solo número … ¿tal vez es un montón de números?)
Hay otra pregunta fundamental: te mostré esa parábola como vivir en un avión. Eso implica poner un objeto geométrico (la parábola) dentro de otro (el plano). ¿Se puede hacer esto siempre, para dos formas dadas? Cuando hace eso, ¿qué información se pierde (o posiblemente cambia)? Por ejemplo, cuando se calcula la curvatura de una parábola en el contexto de estar incrustado en un plano, ¿es la curvatura algo intrínseco a la parábola, o también depende? en la forma particular en que decidiste representar la parábola en el avión?
Resulta que las cantidades “intrínsecas” son a menudo más útiles, por lo que hay un esfuerzo por definir la mayor cantidad posible de estas cosas sin recurrir a hacer todo dentro de un espacio plano de dimensiones superiores.
Otra familia de temas es cómo desarrollar la maquinaria de cálculo en un entorno geométrico más general que una línea, un plano u otro espacio plano (… que es el escenario del primer curso típico de cálculo). En términos simples, suponga que tiene alguna función matemática no definida en una línea, sino más bien definida en todas partes en una forma geométrica. Digamos que tienes una forma como esta:
Entonces tiene una función definida en la forma … digamos, la función representa la temperatura en el punto correspondiente. ¿Qué puede decir sobre los valores máximos o mínimos de la función? (¿Tiene siempre uno o ambos? ¿Cómo los encuentra? ¿Cuántos valores máximos o mínimos puede tener una función, en términos de la geometría de la forma subyacente?)
La función no tiene que tomar valores numéricos. Es posible que tenga un campo vectorial, por ejemplo. (Digamos que hay un patrón de viento en la forma, y la función representa la dirección y la velocidad del viento que sopla en ese punto). Entonces, eso abre otros temas: ¿cómo se define un vector en una forma como esta, especialmente si ¿No desea considerar la forma como existente por sí misma y no como vivir en el espacio 3D “dentro”?
Hay otros temas, por supuesto … pero quizás esto le dé un poco de sabor a lo que es la geometría diferencial.