De acuerdo, voy a suponer que todavía no has estado expuesto al cálculo. Esta prueba lo ayudará a comenzar a pensar de esa manera. Si ya conoce algunos cálculos, será fácil descubrir qué parte de esta derivación implica cálculos. Considere la imagen a continuación:
En la imagen, se cortó una delgada rodaja cilíndrica de altura [matemática] x [/ matemática] y radio [matemática] r [/ matemática] del cono de altura [matemática] H [/ matemática] y radio [matemática] R [/ matemáticas]. El volumen del corte cilíndrico es [matemática] \ pi r ^ 2x [/ matemática].
Ahora, considere que el cilindro se ha cortado en un número muy grande ([matemática] n [/ matemática]) de rodajas finas cada una de altura [matemática] x [/ matemática]. Tenemos,
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[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {H} {n} [/ matemáticas]
Deje que [math] h_i [/ math] sea la distancia del corte cilíndrico [math] i [/ math] -th desde el vértice. Obviamente, [math] \ displaystyle h_i = ix = i \ frac {H} {n} [/ math]. Además, utilizando propiedades de similitud de triángulos,
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {r} {R} = \ frac {h_i} {H} \ implica r = R \ frac {h_i} {H} = R \ frac {i} {n} [/ math]
Una aproximación del volumen del cono es solo la suma de los volúmenes de todos los cilindros. Es decir,
[matemáticas] \ displaystyle V = \ sum_ {i = 1} ^ n {\ pi r ^ 2 \ frac {H} {n}} = \ pi R ^ 2 \ frac {H} {n ^ 3} \ sum_ { i = 1} ^ n {i ^ 2} [/ matemáticas]
La suma es simplemente [matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 +… + n ^ 2 [/ matemáticas], que viene dada por la fórmula [matemáticas] \ displaystyle \ frac {n (n + 1) (2n + 1 )} {6} [/ matemáticas]. Usando esto, obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle V = \ pi R ^ 2H \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6n ^ 3} [/ matemáticas]
Expanda el polinomio que involucra n en el numerador. Usted obtiene:
[matemáticas] \ displaystyle V = \ pi R ^ 2H \ frac {2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n} {6n ^ 3} = \ frac {\ pi R ^ 2H} {3} + \ frac {\ pi R ^ 2H} {2n} + \ frac {\ pi R ^ 2H} {6n ^ 2} [/ matemáticas]
Observe que al hacer que las rodajas sean más delgadas (es decir, hacer que [math] n [/ math] sea más grande) nuestra aproximación del volumen del cono mejora. Sin embargo, a medida que [math] n [/ math] crece, los términos [math] \ displaystyle \ frac {\ pi R ^ 2H} {2n} + \ frac {\ pi R ^ 2H} {6n ^ 2} [/ matemáticas] se vuelven más pequeñas. Podemos hacer que estos términos sean tan pequeños como queramos en comparación con el otro término haciendo que las rodajas sean más y más delgadas. En otras palabras, eventualmente podemos ignorar estos términos en nuestro resultado final. Por lo tanto, el volumen del cono está dado por
[matemáticas] \ displaystyle V = \ frac {\ pi R ^ 2H} {3} [/ matemáticas]
