¿Cuántas tangentes se pueden dibujar a las dos ramas de una hipérbola desde un punto?

Answer 1

Suponga que la parábola es: [matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

y un punto [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] con la línea [matemática] y = mx + c [/ matemática] donde [matemática] c = mx_1 + y_1 [/ matemática] (es decir, línea que pasa por un punto [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas]. Resolver la línea con la hipérbola,

[matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {(mx + c) ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {m ^ 2x ^ 2 + c ^ 2 + 2mcx} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (b ^ 2 – m ^ 2a ^ 2) x ^ 2 – 2a ^ 2mcx – a ^ 2c ^ 2 – a ^ 2b ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Para una tangente, la línea debe intersecarse exactamente en un punto, es decir, debe haber una sola solución para x, es decir, [matemática] D = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (2a ^ 2mc) ^ 2 + 4 (a ^ 2c ^ 2 + a ^ 2b ^ 2) (b ^ 2 – m ^ 2a ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4a ^ 4m ^ 2c ^ 2 + 4a ^ 2 (c ^ 2 + b ^ 2) (b ^ 2 – m ^ 2a ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2m ^ 2c ^ 2 + c ^ 2b ^ 2 – c ^ 2m ^ 2a ^ 2 + b ^ 4 – a ^ 2b ^ 2m ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2b ^ 2 + b ^ 4 = a ^ 2b ^ 2m ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] m = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2 + c ^ 2} {a ^ 2}} [/ matemáticas]

Por lo tanto, 2 soluciones, por lo tanto, desde un punto uno puede dibujar 2 tangentes a una hipérbola con las pendientes anteriores.

Answer 2

Dos, como cualquier otra curva.

Se pueden hacer las dos tangentes;

1. Solo la primera rama
2. La segunda rama solamente
3. Uno en la primera y el otro en la segunda rama.

Determinamos esto simplemente haciendo asíntotas desde el centro de la hipérbola. Esto divide el avión en cuatro regiones. Ahora,

1. Si su punto externo se encuentra en la región en la que se encuentra la primera rama, ambas tangentes se dibujarán en la primera rama.
2. Si su punto externo se encuentra en la región en la que se encuentra la segunda rama, ambas tangentes se dibujarán en la segunda rama.
3. Si su punto externo se encuentra en las dos regiones en las que no se encuentra ninguna rama, se dibujará una tangente en la primera rama y una tangente en la segunda rama.