¿Cómo debo resolver este problema de geometría de triángulo equilátero? ¿Hay una fórmula?

Answer 1

Elija dos lados de cualquier triángulo equilátero, luego conecte sus puntos medios, el triángulo que se hace también es un triángulo equilátero (¿puede ver por qué?) Y esta línea que dibujamos tiene longitud [matemáticas] \ frac {s} {2} [/ math] donde [math] s [/ math] es la longitud del lado del triángulo original. Si luego conectamos los puntos medios de los otros dos pares de lados, formamos un triángulo como se especifica en la pregunta, y el triángulo formado también es un triángulo equilátero. Este nuevo triángulo tiene un perímetro [matemático] \ frac {3s} {2} [/ matemático], que es la mitad del perímetro del triángulo original.

Ahora en el problema, el perímetro del décimo triángulo es la mitad del perímetro del noveno triángulo, que es la mitad del perímetro del octavo triángulo y así sucesivamente … entonces el décimo triángulo tiene perímetro [matemática] \ frac {P} { 2 ^ {9}} [/ math] y el tercer triángulo tiene un perímetro [math] \ frac {P} {2 ^ {2}} [/ math] donde [math] P [/ math] es el perímetro del original triángulo, entonces la relación es [matemática] \ frac {1} {2 ^ {7}} [/ matemática].

En cuanto a una fórmula, debería ser fácil observar que la razón del perímetro del triángulo [matemático] x [/ matemático] al perímetro del triángulo [matemático] y [/ matemático] es igual a [ matemáticas] \ frac {1} {2 ^ {yx}} [/ matemáticas]

Answer 2

Si es equilátero, significa 3 lados iguales. Por lo tanto, podemos tomar la dimensión de un lado, ya que se mantendrá la proporción.

Una proporción generalmente debe ser de x a 1, como una escala.

Como estamos hablando de puntos medios, significa que cada triángulo siguiente tendrá la mitad del perímetro del triángulo anterior, por lo que el triángulo 2 es la mitad del triángulo 1.

Como tenemos 10 triángulos, y el triángulo 2 es 1/2, entonces obtenemos 1/2 ^ 9. Entonces la respuesta correcta es a) 1/512 = 0.001953125

la fórmula sería 1/2 ^ n-1 donde n es el número de triángulos.

Answer 3

Cada triángulo sucesivo formado tendrá una longitud de 1/2 del anterior.

Entonces, los perímetros también serán 1/2 del anterior. No importa si comienza en la primera de la duodécima, la proporción sigue siendo la misma.

Habiendo dicho eso. Suponga que el perímetro del tercer triángulo es 1. Así

EDITAR: POR SOLICITUD SPOILER ABAJO

[matemáticas] \ frac {1} {2 ^ {10-3}} = \ frac {1} {2 ^ {7}} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ frac {1} {128} [/ matemáticas]

Salud

Answer 4

Aunque se puede encontrar una expresión (sí, una expresión es una fórmula) para casi todo, la única fórmula que vale para todo es “pensarlo”. Por ejemplo, dibuja solo los primeros 3 de tus triángulos. Compara las longitudes de los más grandes con los segundos. Si llama “uno” a la longitud del lado del segundo, entonces el segundo tiene un perímetro de 3 y el triángulo más grande es dos veces el segundo.
Entonces, el patrón a seguir es que el segundo es la mitad del primero, entonces la relación

perímetro del segundo / perímetro del primero = 1/2

2do 1 2do 3ro 1 1 3ro
—– = —- => ——- —– = —- —- = ——
1 ° 2 1 ° 2 ° 2 2 1 °

2 ° 3 ° 4 ° 5 ° 6 ° 7 ° 8 ° 9 ° 10 ° 1 1 1 1 1
—— —– —— —- —— —– —– —- —- = – – – ……. –
1 ° 2 ° 3 ° 4 ° 5 ° 6 ° 7 ° 8 ° 9 ° 2 2 2 2 2

<- 2 ^ 2 ->
<—————————- 2 ^ 9 ————————>

10 ° 1/2 ^ 9 2 ^ 2 1
—— = ——– = ——- = —–
3er 1/2 ^ 2 2 ^ 9 2 ^ 7

Entonces, sí, hay una fórmula, la relación del triángulo m-ésimo al enésimo es:

m-th 1
——- = ———— = 2 ^ (nm)
n-ésimo 2 ^ (mn)

Answer 5

Existe una fórmula, por supuesto, pero la descubrirá usted mismo.

Dibuja los primeros tres triángulos descritos. Justo en el reverso de un sobre. Llámalos triángulos (1), (2) y (3)

Vea qué líneas / segmentos de línea pueden tener la misma longitud. Vea si puede resolver cualquier regla que relacione el perímetro del triángulo más grande (1) con el segundo más grande (2).

Haz lo mismo con los triángulos (2) y (3).

¿Hay una regla? ¿Es la regla que vincula (1) y (2) similar al vínculo entre (2) y (3)?

¿Podría haber un patrón hasta el triángulo (10)?

¿Esto ayuda?