Uno debería imaginar un mapeo topológico que permita que esto suceda. No es difícil pensar en un mapeo topológico donde [math] \ pi_t [/ math] ([math] \ pi [/ math] para la topología) no es constante. Por ejemplo, un mundo 2D en la superficie de una esfera, [math] \ pi_t [/ math] no es constante.
Primero algunas definiciones:
- Un círculo es un camino de igual distancia alrededor de un punto central.
- El radio de un círculo es la distancia más corta desde el círculo hasta el centro del círculo.
- La circunferencia de un círculo es la distancia más corta que no es cero recorrida a lo largo del círculo para llegar a donde comenzó.
- El diámetro de un círculo es el doble de su radio.
- [math] \ pi_t [/ math] es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.
Un teorema que nos gustaría probar para nuestra geometría es:
[matemáticas] \ pi_t = \ frac {Área} {Radio ^ 2} [/ matemáticas], para un círculo
Dónde,
[matemáticas] Diámetro = 2 \ veces {Radio} [/ matemáticas]
Vamos a comenzar con el primero como definición. La segunda será una hipótesis que puede no ser válida dependiendo del mapeo que usemos.
La mayor parte de mi respuesta se basará en la pregunta original, “¿Qué pasa si [math] \ pi [/ math] se redondea a 3”? Sin embargo, analizaré brevemente otros valores de [math] \ pi_t [/ math].
Concepto basico:
Un mapeo de cono simple podría hacer que la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro sea exactamente 3, por cada círculo centrado en el cono. Entonces puedo concluir localmente, el espacio se vería como si estuviera en la superficie de un cono.
¿Ahora el truco es cómo hacer que esto sea cierto sin importar dónde centre mi círculo? Parece que lo que necesitamos es una regla especial de relatividad. Así como Lorentz-Invarance (constante C) conduce al espacio de Milwaukeean, queremos que la variación [math] \ pi_t [/ math] conduzca a un mapeo espacial especial.
Así que podría hacer la regla de que todos los observadores se vean en el centro de un cono espacial donde [math] \ pi_t [/ math] = 3, y tomar el resto de las reglas a partir de ahí. El problema es que un cono tiene un punto. Entonces cada observador se encuentra en una singularidad. Eso hace que crear un mapeo suave y continuo sea difícil o imposible. Pero al menos te he dado una referencia de lo que verás localmente, y tal vez eso sea lo suficientemente bueno por ahora.
Ejemplo de topología:
Dada la singularidad, deberíamos intentar buscar soluciones que no sean suaves y continuas. En particular, las soluciones que utilizan la cuantización del ángulo, como el mosaico. Resulta que hay un mosaico 2D muy simple con el que la mayoría de los jugadores están familiarizados y que tiene la característica misma de [math] \ pi_t = 3 [/ math], un mapeo hexagonal.
De hecho, resulta que en este mapeo cualquier círculo que dibujes tendrá un perímetro de 6 veces el radio. Comienza tu mismo en cualquier hexágono en el centro del mapa. Sal de un hex. Ese es su radio, 1. Ahora cuente los hexes mientras gira alrededor, 6. Ahora esta vez comience en el mismo centro y salga dos hexes, radio 2. Ahora circule alrededor del centro. Contarás, 12 hexes. Pruebe un radio de 3, encontrará que su círculo tiene 18 hexes alrededor.
Entonces, una regla de geometría para este espacio es:
[matemática] Circunferencia = 3 \ veces (2 \ veces {Radio}) = 3 \ veces {Diámetro} [/ matemática]
[matemática] \ pi_t = \ frac {Circunferencia} {Diámetro} = 3 [/ matemática]
Es posible que haya notado que no definí el área. Eso es porque mi definición dependerá de mi topología. Para esta topología, definiré el área de la siguiente manera.
- Área es el número de mosaicos contenidos en una ruta cerrada que no se cruza, incluidos los mosaicos que definen la ruta.
Ahora, veamos si nuestra ecuación para el área funciona: intentemos contar los cuadrados que forman el are. Encontrarás 7, 19, 37, … Lo dejaré como un ejercicio del lector para mostrar que esto te da una fórmula:
[matemáticas] Área = 1 + 3 \ veces {Radio} \ veces {(Radio + 1)} [/ matemáticas]
Donde están tomando el área de un azulejo como 1.
Supongamos un tamaño de cuadrícula muy pequeño. Entonces, es razonable que solo queramos mirar valores grandes de r. Para valores grandes de r, solo el término de orden más alto es significativo, por lo que obtenemos una fórmula simple:
[matemáticas] Área = 3 \ veces {Radio ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ pi_t = \ frac {Área} {Radio ^ 2} = 3 [/ matemáticas]
Entonces obtenemos exactamente la misma respuesta para [math] \ pi_t [/ math].
Ahora podemos hacer este mismo ejercicio para otros valores de [math] \ pi_t [/ math]. Hay muy pocos mosaicos regulares para 2 y 3 dimensiones. Pero si eres inteligente, hay otras formas de hacer tu mapeo además del mosaico regular.
Ahora que conoce un mapeo, puede probar sus diversos teoremas de geometría y ver qué tan bien se mantienen con este tipo de mapeo. Te lo prometo, encontrarás algunas sorpresas interesantes. Compartiré un par de estos contigo.
Spoilers sobre Reglas de Geometría:
Comparemos notas sobre características inusuales:
1. Todos los círculos son hexágonos. Por ejemplo, una curva alrededor de un punto de distancia constante desde el centro es siempre un hexágono.
2. Definir una línea como la distancia más corta entre dos puntos no es muy útil. Si va verticalmente, arriba y abajo de la página hay muchas rutas de distancias más cortas. Si desea que la visión y tal trabajen en este mapeo, necesita una definición más compleja, como una línea es una ruta entre las rutas de la distancia más corta con el número máximo de vueltas. Proceda hacia abajo antes de subir cuando zigzaguea a la derecha.
Comparta los comentarios si se encuentra con otras características geométricas interesantes. Algo que sería interesante verificar son las áreas de varios polígonos.
Relacionar mi área de topología con el área euclidiana:
Para hacer que mi fórmula para el área de un círculo funcione, utilicé una definición personalizada de área que define el área de un mosaico como 1. Supongamos que quiero que el área de un mosaico coincida con lo que calcularíamos en geometría euclidiana. ¿Hay alguna manera de hacer que el área de un círculo sea el resultado deseado? En la geometría euclidiana, si la distancia desde el centro de un mosaico al centro de un mosaico vecino es una, entonces el área de un mosaico será [matemática] \ frac {\ sqrt {3}} 2 [/ matemática] que es aproximadamente 0.866. Si deseo que las dos geometrías tengan un área de 1 para el mosaico, la solución obvia NO es utilizar un mosaico plano:
Eso es correcto, el hexágono equivalente de un cono. Es una geometría bastante simple encontrar la altura del cono. Cuando resuelva para h, la altura de este cono, encontrará que es:
[matemáticas] altura = \ frac {1} {\ sqrt {-12}} [/ matemáticas]
Entonces tenemos una respuesta imaginaria. No hace falta decir que no vas a encontrar estas fichas para tu tablero de juego típico …
Sin embargo, eso solo significa, por ejemplo, que estamos usando un tiempo como las dimensiones para nuestro mosaico … 🙂 ¿Qué sucede si no utilizamos un mosaico de forma especial como este? Bueno, entonces no podemos satisfacer nuestra ecuación de área y nuestra ecuación de perímetro con [math] \ pi_t = 3 [/ math] al mismo tiempo.
Si no queremos usar una dimensión de tiempo, hay otra opción. ¿Qué tal si hacemos el azulejo plano con protuberancias o colinas? Las protuberancias pueden agregar el área adicional que necesitamos, y siempre que las protuberancias no se encuentren en los 6 caminos al vértice central de las fichas vecinas, no afectaremos la distancia al agregar esta área adicional.
Geometrías que se parecen más a las nuestras:
Si realiza un seguimiento, se dará cuenta de que el mosaico de mi solución es en gran medida artificial. Podría manipular las propiedades de mi mosaico para permitir más de seis direcciones de movimiento fuera de un mosaico y aún mantener la [matemática] \ pi_t [/ matemática] que queremos y la proporción de [matemática] \ pi_t [/ matemática] al área. Los componentes principales son cuantificar las rutas permitidas desde las unidades de área más pequeñas y las longitudes de esas rutas. Posiblemente uno podría tener una serie de rutas de Fibonacci o similar, que permitiría un número infinito de rutas contables. Los resultados reales de la ecuación de nuestra área son algo arbitrarios. En eso podemos elegir cualquier cantidad de área para agregar como picos y valles entre los posibles caminos fuera de un mosaico. Con mucho esfuerzo se podría llegar a un mosaico que estaba extremadamente cerca de nuestro propio universo. De hecho, si el valor de [math] \ pi_t [/ math] estuviera lo suficientemente cerca de lo que podemos medir en un laboratorio, me sería difícil demostrar que no era nuestro universo.
El concepto de espacio de mosaico no es tan inusual. La teoría de Heim se basó completamente en el espacio de mosaico. Muchas simulaciones físicas y similares utilizan un mosaico de un tipo u otro. Resulta que la física no nos dice casi nada sobre la unidad de área más pequeña permitida por el principio de incertidumbre, por lo que casi cualquier mosaico que puedas imaginar podría ser una posible coincidencia real para nuestro universo. Siempre que todavía produzca la misma geometría con la precisión que realmente podemos medir.
Un posible problema con los cálculos del área
Una cosa que podría preocupar al lector astuto es que traté un camino hexagonal como un círculo en mis cálculos de área. ¿Cómo puede ser posible ser un círculo? En términos de una ruta alrededor de un punto de radio constante, califica en esta geometría. Sin embargo, si lo desea, puede redondear las esquinas con la brújula para dibujar un círculo de geometría euclidiana. En cada ejemplo que probé, la cantidad de mosaicos de la ruta del círculo euclidiano y la ruta del hexágono son las mismas. Sin embargo, no hice una prueba formal de que esto siempre sea cierto. Por supuesto, con un círculo euclidiano, la fórmula del área será diferente.