El área de superficie de un tronco cónico derecho se puede encontrar usando solo las matemáticas de la escuela primaria de la siguiente manera:
El tronco es simplemente un cono con el punto cortado. Esto deja un círculo pequeño, un círculo grande y una porción curva de un cono que los conecta. Digamos que el círculo pequeño tiene radio [matemática] r [/ matemática], y el círculo grande tiene radio [matemática] R [/ matemática], y la longitud diagonal entre los dos círculos es [matemática] \ ell [/ matemática]. Las áreas de los dos círculos se pueden encontrar con la fórmula estándar del área del círculo. Entonces es suficiente para encontrar el área de superficie de la porción cónica curva. Podemos obtener esto visualizando esta área como la diferencia entre las áreas de un cono grande (cuya base es el círculo grande) y un cono pequeño (cuya base es el círculo pequeño), excluyendo la base en ambas ocasiones. Veamos cómo encontrar esta área cónica curva en general. Imagine cortar un corte recto desde la punta de un cono (con una longitud diagonal desde la punta hasta la base [matemática] L [/ matemática], y el radio base [matemática] R [/ matemática]) hacia la parte inferior, y luego desenvolverla y aplanarla fuera. El resultado es una cuña circular, encajando en un círculo de radio [matemática] L [/ matemática]. Este círculo tiene área [matemática] \ pi L ^ 2 [/ matemática], pero nuestra cuña es solo una fracción de esa área. Con un poco de reflexión, puede ver que la fracción del círculo completo que ocupa la cuña es la relación [matemática] R / L [/ matemática]. De esto deducimos que el área de un cono (sin incluir la base circular) es [math] \ pi LR [/ math]. Ahora usamos este hecho para calcular las áreas de los dos conos y restarlos. Las longitudes diagonales relevantes (que llamé [math] L [/ math] en la derivación anterior) para los dos conos son [math] \ ell [/ math] y [math] m + \ ell [/ math], donde [math ] m [/ math] es la distancia desde la punta de los conos hasta el borde del círculo pequeño. [math] m [/ math] se puede encontrar trivialmente apelando a triángulos similares: [math] \ frac {m} {r} = \ frac {m + \ ell} {R} [/ math] y resolviendo para [math ] m [/ matemáticas]. Si sigue este razonamiento, obtendrá el resultado deseado, que le dejaré hacer.