Si [math] S_ {n} [/ math] es la suma de series geométricas infinitas cuyo primer término es n y la razón común es [math] \ frac {1} {n + 1} [/ math], ¿cuál es el valor? de [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {S_ {1} S_ {n} + S_ {2} S_ {n-1} + S_ {3} S_ {n-2} +… + S_ {n} S_ {1}} {S_ {1} ^ 2 + S_ {2} ^ 2 +… + S_ {n} ^ 2} [/ matemáticas]?

Answer 1

Nota: Me he saltado muchos pasos, pero si tienes suficiente experiencia podrás retomarlo. ¡Lo siento! ¡Soy demasiado vago para escribir!
Todo lo que necesita saber es que [matemáticas] \ sum n = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sum n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} [/ matemáticas].

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[matemáticas] S_ {n} = \ frac {n} {1- \ frac {1} {n + 1}} = n + 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] N ^ {r} = S_ {1} S_ {n} + S_ {2} S_ {n-1} + S_ {3} S_ {n-2} +… + S_ {n} S_ { 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 (n + 1) + 3n + 4 (n-1) +… + (n + 1) 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {r = 1} ^ {n} (r + 1) (n-r + 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {r = 1} ^ {n} [(n + 1) rr ^ 2 + (n + 2)] [/ matemáticas]

(Saltando algunos pasos aquí, cansado de escribir)

[matemáticas] = \ frac {n} {6} [n ^ 2 + 9n + 14] [/ matemáticas]

Y [matemáticas] D ^ r = S_ {1} ^ 2 + S_ {2} ^ 2 +… + S_ {n} ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 ^ 2 + 3 ^ 2 +… + (n + 1) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {n (2n ^ 2 + 9n + 13)} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {N ^ {r}} {D ^ {r}} = \ frac {n ^ 2 + 9n + 14} {2n ^ 2 + 9n + 13 }[/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1+ \ frac {9} {n} + \ frac {14} {n ^ 2}} {2+ \ frac {9} {n} + \ frac {13} {n ^ 2}} = \ frac {1} {2} [/ math]

Answer 2

La suma de una serie geométrica infinita con el primer término como [matemáticas] a [/ matemáticas] y la razón común [matemáticas] r [/ matemáticas] es [matemáticas] S = \ dfrac {a} {1-r} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] S_n = \ dfrac {n} {1- \ frac {1} {n + 1}} = \ dfrac {n} {\ frac {n} {n + 1}} = n + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {S_n = n + 1} [/ matemáticas]

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Ahora, [matemáticas] S_a \ cdot S_ {n-a + 1} = (a + 1) \ cdot (n-a + 2) = (n + 1) aa ^ 2 + (n + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] N = \ displaystyle \ sum_ {a = 1} ^ {n} (n + 1) aa ^ 2 + (n + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] N = (n + 1) \ displaystyle \ sum_ {a = 1} ^ {n} a – \ displaystyle \ sum_ {a = 1} ^ {n} a ^ 2 + (n + 2) \ displaystyle \ sum_ {a = 1} ^ {n} 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n + 1) [1 + 2 + 3 + \ cdots + n] – [1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2] + (n + 2) [1 + 1 + 1 + \ cdots + 1] [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n + 1) \ dfrac {n (n + 1)} {2} – \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} + n (n + 2) [/ matemáticas]

Simplifica para obtener,

[matemática] \ en caja {N = \ dfrac {n ^ 3 + 9n ^ 2 + 14n} {6}} [/ matemática]

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[matemáticas] S_a ^ 2 = (a + 1) ^ 2 = a ^ 2 + 2a + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] D = \ displaystyle \ sum_ {a = 1} ^ {n} a ^ 2 + 2a + 1 [/ matemáticas]

Similar,

[matemáticas] D = \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} + n (n + 1) + n [/ matemáticas]

Simplifica para obtener

[matemáticas] \ en caja {D = \ dfrac {2n ^ 3 + 9n ^ 2 + 13n} {6}} [/ matemáticas]

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[matemáticas] L = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {N} {D} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {n ^ 3 + 9n ^ 2 + 14n} {2n ^ 3 + 9n ^ 2 + 13n} [/ math]

Como [math] n \ to \ infty [/ math] exponentes más pequeños no importan mucho

[matemáticas] L = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {n ^ 3} {2n ^ 3} = \ dfrac {1} {2} [/ math]

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[matemáticas] \ boxed {\ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {S_ {1} S_ {n} + S_ {2} S_ {n-1} + S_ {3} S_ {n-2} +… + S_ {n} S_ {1}} {S_ {1} ^ 2 + S_ {2} ^ 2 +… + S_ {n} ^ 2} = \ dfrac {1} {2}} [/ matemática]

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¡Espero eso ayude!

Y gracias por la [matemática] A2A [/ matemática]