En álgebra lineal, análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, una norma es una función que asigna una longitud o tamaño estrictamente positivo a cada vector en un espacio vectorial, salvo el vector cero, al que se le asigna una longitud cero. Un seminorm , por otro lado, puede asignar longitud cero a algunos vectores distintos de cero (además del vector cero).
Una norma también debe satisfacer ciertas propiedades relacionadas con la escalabilidad y la aditividad que se dan en la definición formal a continuación.
Un ejemplo simple es el espacio euclidiano bidimensional R 2
equipado con la norma euclidiana. Los elementos en este espacio vectorial (por ejemplo, (3, 7)) generalmente se dibujan como flechas en un sistema de coordenadas cartesianas bidimensionales que comienza en el origen (0, 0). La norma euclidiana asigna a cada vector la longitud de su flecha. Debido a esto, la norma euclidiana a menudo se conoce como la magnitud.
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Un espacio vectorial en el que se define una norma se denomina espacio vectorial normado. Del mismo modo, un espacio vectorial con una seminorma se denomina espacio vectorial semi-normado. A menudo es posible proporcionar una norma para un espacio vectorial dado de más de una manera.
Norma euclidiana:
En un espacio euclidiano n- dimensional R n , la noción intuitiva de longitud del vector x = ( x 1, x 2, …, xn ) es capturada por la fórmula
Esto proporciona la distancia ordinaria desde el origen hasta el punto x , una consecuencia del teorema de Pitágoras. La norma euclidiana es, con mucho, la norma más utilizada en R n , pero hay otras normas en este espacio vectorial como se mostrará a continuación. Sin embargo, todas estas normas son equivalentes en el sentido de que todas definen la misma topología.
En un espacio complejo n- dimensional C n
la norma más común es
En ambos casos, también podemos expresar la norma como la raíz cuadrada del producto interno del vector y de sí mismo:
Nada es más explicativo que un buen video 🙂