Cómo demostrar que la suma de las dos distancias alternativas que unen los vértices de un paralelogramo y una línea exterior es igual a las otras dos

Answer 1

Es fácil de ver dibujando dos líneas paralelas a la dada:

Como AB es una traducción de CD (igual en longitud y paralela a ella), y s paralela a t, sabemos que AK debe ser igual a DL.

AK = DL [1]

Dado que DI y CJ son perpendiculares a r, son paralelas, y dado que syt también son paralelas, sabemos que LM es igual a CN.

LM = CN [2]

Y dado que r y s son paralelos, es obvio que

GK = BH = MI = NJ [3]

Ahora, lo que quería probar es AG + CJ = BH + DI.

Sabemos que AG = AK + GK = AK + BH (usando [3]).

CJ = CN + NJ = CN + BH (nuevamente usando [3]).

Ergo, AG + CJ = AK + CN + 2 BH.

Entonces tenemos DI = DL + LM + MI = AK + CN + BH (usando [1] y [2]),

entonces BH + DI = AK + CN + 2 BH.

Como AG + CJ y BH + DI son iguales a lo mismo, tenemos la tesis.

Answer 2

Deje que las coordenadas de [matemáticas] A [/ matemáticas], [matemáticas] B [/ matemáticas], [matemáticas] C [/ matemáticas] y [matemáticas] D [/ matemáticas] sean [matemáticas] (p, a), ( q, b), (r, c) [/ math] y [math] (s, d) [/ math] respectivamente. La suma de los vértices opuestos es la misma, entonces [matemática] (p + r, a + c) = (q + s, b + d) [/ matemática] y el resultado sigue.

Answer 3

¡Qué amable de tu parte incluir un diagrama! Lamentablemente, los interrogadores sobre Quora rara vez tienen la cortesía de hacerlo. ¡Gracias!

Una prueba directa proviene de la geometría coordinada. Considere que la línea que pasa por [matemáticas] G [/ matemáticas], [matemáticas] H [/ matemáticas], [matemáticas] I [/ matemáticas] y [matemáticas] J [/ matemáticas] es la [matemáticas] X [/ eje matemático]. Entonces, [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática], [matemática] c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] se convierten en las coordenadas [matemática] y [/ matemática] de Los cuatro vértices. Sabes que las diagonales en un paralelogramo se bisecan entre sí. La coordenada [math] y [/ math] del punto de intersección de las diagonales está dada por [math] \ displaystyle \ frac {a + c} {2} [/ math], o alternativamente [math] \ displaystyle \ frac {b + d} {2} [/ matemáticas].

Ahí lo tienes: tu prueba está completa.

Answer 4

¿Cómo puedo demostrar que la suma de las dos distancias alternativas que unen los vértices de un paralelogramo y una línea exterior es igual a las otras dos?

---

La línea que pasa a través de GHIJ puede considerarse el eje x, entonces los dos segmentos de línea AB y DC son paralelos y tienen la misma longitud, por lo tanto tienen el mismo cambio en la coordenada y.

cambio en la coordenada y [matemáticas] = ba = cd [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow a + c = b + d \ qquad \ blacksquare [/ math]

Del mismo modo, podríamos haber argumentado utilizando líneas paralelas AD y BC.