Existen muchos tipos de paraboloides.
Elíptico: x ^ 2 / a ^ 2 + y ° 2 / b ^ 2 = z / c
Circular: deje a = b arriba
Hiperboloide: (+/-) [x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ° 2 – z ^ 2 / c ^ 2]. = 1 y otros, supongo.
x, y y z son el sistema 3 D
Necesitaremos encontrar límites para una integral triple.
Eso requerirá que las formas en forma de ecuaciones se crucen en valores superiores e inferiores para cada x, y y z.
Encuentra el volumen encerrado por los paraboloides
z = x ^ 2 + 3y ^ 2. Elíptica, y. Eq1
- ¿Cuáles son las cosas que debo tener en cuenta al resolver preguntas de geometría coordinada?
- Cómo determinar la geometría molecular de HNO3
- ¿Cuál es el valor de [matemáticas] n [/ matemáticas] si [matemáticas] A_1, A_2, …, A_n [/ matemáticas] sean los vértices de un polígono regular y [matemáticas] A_1A_2, A_2A_3, …, A_ {n-1 } A_n, A_nA_1 [/ math] sean sus lados [math] n [/ math] de manera que [math] \ frac {1} {A_1A_2} = \ frac {1} {A_1A_3} + \ frac {1} {A_1A_4} [/matemáticas]?
- Dadas las coordenadas de un punto de cada lado de un cuadrado (sin vértices), ¿cómo encontrar las ecuaciones de los lados de un cuadrado en el que se encuentran?
- ¿Es cierto que la mayoría de las personas que son buenas en álgebra son malas en geometría y viceversa?
z = 8 -x ^ 2 – y ^ 2 Hiperbólico. Eq2
Se cruzan cuando x ^ 2 + 3y ^ 2 = 8 – x ° 2 – y ° 2 o.
x ^ 2 + 2y ^ 2 = 4. Eq3
El volumen viene dado por la integral triple de dz dy dx
Como no tengo la facilidad de mostrar la integración, debo improvisar.
Primero Int dz desde el límite inferior Eq2 hasta el límite superior Eq1 arriba básicamente restan Eq2 – Eq1 = (8-2x ^ 2 -4y ^ 2) = z (uno hecho)
Ahora obtenga Int de z dy
Encuentre límites para dy e Int (8- 2x ^ 2 – 4y ^ 2) dy = 8y- (y) 2x ^ 2- (4/3) y ^ 3
= y (8-2x ^ 2) – (4/3) y ^ 2
Ahora encuentre los límites para y usando Eq3,
y = (+/-) √ [(4-x ^ 2) / 2] son los lomitos inferior y superior de y en términos de x. observe que es simétrico, por lo que dos desventajas, duplica la integral, al subyugar y = (+/-) √ [etc.] para los valores de y en la integral
y (8 – 2x ^ 2) – (4/3) y ^ 3. obtenemos
Int (y) = [{8 (4-x ^ 2) / 2} ^ 3/2 – 8/3 {(4-x ^ 2) / 2} ^ 3/2. Eq4
Esto se simplifica a
Int (y) = (4√2 / 3) [(4- x ^ 2) ^ (3/2). Eq5 Ahora lo que queda por hacer es integrar para dx
Encuentre límites para x en la ecuación 3 también.
x ^ 2 + 2y ^ 2 = 4
Límites para x = -2, + 2
Int (Eq5) dx de -2 a +2
Observe que hay un término (4 – x ^ 2) así que
En la última integral será necesaria una sustitución
Deje x = 2 sinu
dx = 2 cosu
Cuando todos los subs. Una vez hecho, terminará con un (cos u) ^ 4 du.
Saber (cos u) ^ 2 = 1/2 (1 + cos2u)
Usted cuadrará eso y uno de los términos será (cos2u) ^ 2, haga lo mismo nuevamente y luego integre.
No olvides cambiar los límites de Int.
Si x = 2sinu, yx = 2. Entonces sinu = 1, entonces u = π / 2. etc.
espero que esto ayude
La presentación es incómoda, puede reescribirse