Curiosamente, pensé “¿esto se extiende a cualquier otro triángulo cuyos lados sean tres números consecutivos?” .
Deje que los lados de un triángulo sean de longitud [matemática] (x-1), x [/ matemática] y [matemática] (x + 1) [/ matemática]. Entonces este triángulo tiene área
[matemáticas] \ dfrac {x} {4} \ sqrt {3 (x ^ 2-4)}. [/ matemáticas]
Esto se puede probar usando la fórmula [math] \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} [/ math] para el área de un triángulo que tiene los tres lados [math] a, b, c [/ math] , donde [math] s [/ math] es el semiperímetro [math] \ dfrac {a + b + c} {2} [/ math]. Esto se llama la fórmula de Heron.
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Entonces necesitamos resolver la ecuación
[matemáticas] \ dfrac {x} {4} \ sqrt {3 (x ^ 2-4)} = x + 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3x ^ 2 (x ^ 2-4) = (4 (x + 2)) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3x ^ 4-12x ^ 2 = 16x ^ 2 + 64x + 64 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3x ^ 4-28x ^ 2-64x-64 = 0 [/ matemáticas]
[matemática] (x + 2) (x-4) (3x ^ 2 + 6x + 8) = 0 [/ matemática]
Por lo tanto, las únicas soluciones reales son [matemática] x = -2 [/ matemática] o [matemática] x = 4 [/ matemática], ya que la cuadrática [matemática] 3x ^ 2 + 6x + 8 [/ matemática] no tiene Cualquier raíz real. Sin embargo, los lados de un triángulo deben tener una longitud positiva, por supuesto, por lo que [math] x = -2 [/ math] se descarta. Por lo tanto, [matemática] x = 4 [/ matemática] es la única solución, que está asociada con el triángulo cuyos lados son [matemática] 3, 4, 5 [/ matemática].
No sé si esta es una ‘pura y feliz coincidencia’ o no, pero, por todo lo que vale, acabo de demostrar que el único triángulo cuyas longitudes laterales son tres números consecutivos y cuya área es igual a uno más que su el lado más largo es el triángulo [matemático] 3, 4, 5 [/ matemático], que resulta estar en ángulo recto.
(De hecho, el único triángulo rectángulo cuyas longitudes de los lados son tres números consecutivos es el triángulo [matemático] 3, 4, 5 [/ matemático] también. Esto se puede demostrar resolviendo las soluciones de la ecuación [matemática] (x -1) ^ 2 + x ^ 2 = (x + 1) ^ 2 [/ matemática], señalando que son [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] x = 4 [/ matemática], la primera de los cuales se desestima.)