Las transformaciones afines en general se pueden representar mediante
[matemática] P ‘= MP + v [/ matemática].
Donde [math] M [/ math] es una matriz que representa sesgar, escalar y rotar, y [math] v [/ math] es la traducción final.
Una sola multiplicación matricial no puede hacer la traducción, ya que cualquier cosa multiplicada por 0 es 0. Pero un buen truco es hacerlo en una “porción” de espacio dimensional superior que no contiene el origen. Considere la transformación:
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[matemáticas] P ‘= \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} P + \ begin {bmatrix} 5 \\ 6 \ end {bmatrix} [/ math]
Esto se puede representar usando una sola multiplicación de matriz:
[matemáticas] \ begin {bmatrix} P’_x \\ P’_y \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 y 2 y 5 \\ 3 y 4 y 6 \\ 0 y 0 y 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} P_x \\ P_y \\ 1 \ end {bmatrix} [/ math]
Básicamente, estamos representando la transformación original en dos dimensiones mediante el uso de un “corte” del espacio tridimensional donde z = 1.
En general, [math] P ‘= MP + v [/ math] puede representarse como:
[matemáticas] \ begin {bmatrix} P ‘\\ \ vdots \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} M & \ dots & v \\ \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ dots & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} P \\ \ vdots \\ 1 \ end {bmatrix} [/ math]
Esta representación le permite combinar transformaciones afines secuenciales simplemente multiplicando matrices.