Siempre puedes obtenerlo de la ecuación de tu proyectil. Deje que su eje [matemático] X [/ matemático] esté paralelo al suelo y dirigido hacia el objetivo y deje que su eje [matemático] Y [/ matemático] se dirija verticalmente hacia arriba. Deje que la posición inicial del proyectil sea [matemáticas] (0, 0) [/ matemáticas]. Deje que el objetivo se encuentre en [math] (h, k) [/ math]. Configuramos las ecuaciones para el camino del proyectil. Sea u la velocidad inicial del proyectil dirigida en un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] al eje [matemático] X [/ matemático]. Notamos eso:
[matemáticas] \ displaystyle x = ut \ cos \ theta [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle y = ut \ sin \ theta – \ frac {1} {2} gt ^ 2 [/ matemáticas]
Eliminamos [math] t [/ math] de la segunda ecuación sustituyendo [math] \ displaystyle t = \ frac {x} {u \ cos \ theta} [/ math]. De dónde,
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[matemáticas] \ displaystyle y = x \ tan \ theta – g \ frac {x ^ 2} {u ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta} [/ math]
Para que el proyectil llegue al objetivo, la ecuación debe cumplirse con el punto [matemática] (h, k) [/ matemática]. De dónde,
[matemáticas] \ displaystyle k = h \ tan \ theta – g \ frac {h ^ 2} {u ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta} [/ matemáticas]
El cálculo es largo aliento. Para simplificar las cosas, dejamos que [matemáticas] \ displaystyle \ frac {h} {k} = A, \ frac {gh ^ 2} {ku ^ 2} = B [/ matemáticas], [matemáticas] \ cos \ theta = z [/matemáticas]. Notamos de inmediato que [math] z \ neq 0 [/ math], ya que esto significaría que el proyectil se dirigió verticalmente hacia arriba (suponiendo que el objetivo no esté directamente debajo o encima del proyectil) y el problema sería trivial.
Entonces,
[matemática] \ displaystyle zA \ sqrt {1 – z ^ 2} – B – z ^ 2 = 0 [/ matemática]
Reorganizando y cuadrando en ambos lados, obtenemos:
[matemáticas] A ^ 2z ^ 2 – A ^ 2z ^ 4 = B ^ 2 + 2z ^ 2B + z ^ 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] (A ^ 2 + 1) z ^ 4 + (2B ^ 2 – A ^ 2) z ^ 2 + B ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
La expresión es cuadrática en [matemáticas] z ^ 2 [/ matemáticas]. Puede resolver esto usando la fórmula cuadrática y convertir de nuevo a las cantidades originales para saber qué valores de [matemática] \ theta [/ matemática], el ángulo de proyección va con qué valores de [matemática] u [/ matemática], la velocidad de proyección.
Actualización : Después de leer el primer comentario de Amelia Payne, me doy cuenta de que dividir entre [matemáticas] k [/ matemáticas] no era una idea demasiado buena, ya que [matemáticas] k [/ matemáticas] podría ser cero. Sin embargo, si [math] k [/ math] es cero, el problema es más simple. Considerando [matemáticas] \ displaystyle h \ neq 0, \ tan \ theta = \ frac {gh} {u ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta} \ implica \ sin \ left (2 \ theta \ right) = \ frac {gh } {2u ^ 2} [/ matemáticas].