Definiciones:
Tenemos [math] 2n [/ math] puntos (donde [math] n \ in \ mathbb {N} \ cup \ {0 \} [/ math]) en el perímetro de un círculo (ya que, si hay un número impar de puntos, la respuesta a esta pregunta es trivial [math] 0 [/ math]). Queremos determinar la cantidad de formas de unir los puntos [matemáticos] 2n [/ matemáticos] para formar acordes no matemáticos [matemáticos] n [/ matemáticos] (cada punto debe usarse para acordes exactamente [matemáticos] 1 [/ matemáticos]) .
Responder:
El número de formas de unir los puntos [math] 2n [/ math] en el perímetro de un círculo para formar acordes no intersectantes [math] n [/ math] es el número catalán ([math] \ boxed {\ frac {1} {n + 1} \ binom {2n} {n}} [/ math]).
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Razonamiento:
Primero, definimos la función [math] f: \ mathbb {N} \ cup \ {0 \} \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ {0 \} [/ math] como la cantidad de formas de unirse a [ matemática] n [/ matemática] apunta en el perímetro de un círculo para formar [matemática] \ frac {n} {2} [/ matemática] acordes no intersectantes. Luego notamos la recurrencia [matemáticas] f (2n) = \ begin {cases} 1 & \ text {,} n = 0 \\\ sum \ limits_ {i = 0} ^ {n-1} {f (2i) f (2 (n-1-i))} & \ text {, de lo contrario} \ end {cases} [/ math]. Primero, podemos verificar el caso base: si [matemática] 2n = 0 [/ matemática] puntos, entonces ciertamente hay exactamente [matemática] 1 [/ matemática] forma de dibujar [matemática] n = 0 [/ matemática] acordes no intersectantes usándolos (no hagas nada).
Para números más altos de puntos, primero etiquetamos los puntos en el sentido de las agujas del reloj: [matemática] 1,…, 2n [/ matemática]. Mirando el punto [matemática] 1 [/ matemática], hay [matemática] 2n-1 [/ matemática] otros puntos con los que posiblemente pueda coincidir. Iterando sobre estas posibilidades en el sentido de las agujas del reloj, vemos que, haciendo coincidir el punto [math] 1 [/ math] con su punto adyacente ([math] 2 [/ math]), hay [math] 0 [/ math] puntos para ser coincidieron entre sí en un lado de este acorde y [matemática] 2 (n-1) [/ matemática] puntos para coincidir entre sí en el otro lado de este acorde. Por lo tanto, existen [matemáticas] f (0) f (2 (n-1)) [/ matemáticas] formas de hacer acordes no intersectantes si el punto [matemáticas] 1 [/ matemáticas] coincide con el punto [matemáticas] 2 [/ matemáticas] . Si, por otro lado, el punto [matemático] 1 [/ matemático] se corresponde con el punto [matemático] 3 [/ matemático], entonces hay un punto [matemático] [/ matemático] que se corresponde entre sí en un lado de este acorde y los acordes [matemáticos] 2n-3 [/ matemáticos] deben coincidir entre sí en el otro lado de este acorde. Por lo tanto, existen [matemáticas] f (1) f (2n-3) = 0 [/ matemáticas] formas de hacer acordes no intersectantes si el punto [matemáticas] 1 [/ matemáticas] coincide con el punto [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. En general, si el punto [matemáticas] 1 [/ matemáticas] se corresponde con el punto [matemáticas] i [/ matemáticas], entonces hay [matemáticas] f (i-2) f (2n-i) [/ matemáticas] formas de hacer [math] n [/ math] acordes no intersectantes. Como todas estas coincidencias son casos distintos, el número total de formas es solo la suma de estos casos. Este resumen es lo que hay en la recurrencia (teniendo en cuenta que hay [matemáticas] 0 [/ matemáticas] cuando el punto [matemáticas] 1 [/ matemáticas] coincide con un punto impar).
Dada esta recurrencia, podemos encontrar su forma cerrada creando una función generadora para [math] f (n) [/ math]. Por ejemplo, verifique el número catalán (Prueba de la fórmula).