¿Cómo puedo demostrar que la suma de los ángulos de tres cuadrados contiguos es siempre de 90 grados?
Para limitar el manejo de raíces cuadradas, he definido los 3 ángulos usando tangentes en lugar de senos o cosenos.
Los ángulos se definen como:
[matemáticas] {} \ hspace {4ex} \ alpha = \ tan ^ {- 1} 1, \; \; \ beta = \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {2}, \; \; \ gamma = \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {3} [/ math].
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Se sabe que [matemáticas] \ tan ^ {- 1} 1 = \ frac {\ pi} {4} = 45 ^ {\ circ} [/ matemáticas]. Por lo tanto, para demostrar que
[matemáticas] {} \ hspace {4ex} \ alpha + \ beta + \ gamma = \ frac {\ pi} {2} = 90 ^ {\ circ} [/ math],
solo necesitamos demostrar que
[matemáticas] {} \ hspace {4ex} \ beta + \ gamma = \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {2} + \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {3} = \ tan ^ {-1} 1 = \ frac {\ pi} {4} = 45 ^ {\ circ} [/ math].
Es suficiente demostrar que
[matemáticas] {} \ hspace {4ex} \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {2} + \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {3} = \ tan ^ {- 1} 1 [/matemáticas].
Desafortunadamente, no pude encontrar una fórmula para agregar arcotangentes, así que tuve que derivar la mía. Mi derivación se muestra a continuación sin más explicaciones.
Usando la fórmula
[matemáticas] {} \ hspace {4ex} \ tan ^ {- 1} u \ pm \ tan ^ {- 1} v = \ tan ^ {- 1} \ frac {u \ pm v} {1 \ mp uv} [/matemáticas],
obtenemos
[matemáticas] {} \ hspace {4ex} \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {2} + \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {3} = \ tan ^ {- 1} \ izquierda (\ frac {\ frac {1} {2} + \ frac {1} {3}} {1- \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {3}} \ right) = \ tan ^ {- 1} 1 [/ matemáticas],
que es como se esperaba
[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
Nota: Si usamos la fórmula para agregar los 3 arcotangentes, obtenemos
[matemáticas] {} \ hspace {4ex} \ tan ^ {- 1} 1+ \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {2} + \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {3} = \ tan ^ {- 1} \ infty = \ frac {\ pi} {2} = 90 ^ {\ circ} [/ math].