¿Cómo [math] \ sin ^ {- 1} x [/ math] encuentra el ángulo en cuestión?

Answer 1

Bueno, esto no difiere mucho de cómo [math] sin (x) [/ math] encuentra el seno de un ángulo. Supongo que se pregunta cómo se obtiene exactamente un cierto valor. En términos prácticos, más allá de la definición funcional de sin y arcsin, generalmente se obtiene un valor numérico con su expansión en serie. Por ejemplo, la serie Taylor del arcsin (x) es:

[matemáticas] \ sin ^ {- 1} (x) = – \ frac {\ pi} {2} + \ sqrt {2 (x + 1)} + \ frac {(x + 1) ^ {3/2} } {6 \ sqrt {2}} + \ frac {3 (x + 1) ^ {5/2}} {80 \ sqrt {2}} +… [/ matemáticas]

O también podría ponerlo como:

[matemáticas] \ sin ^ {- 1} (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {1 + 2k} \ left (\ frac {1} {2} \ right) _k} {k! + 2kk!} \, \, for \, \, | x | <1 [/ math]

Antes de la era computacional, los libros con infinitos valores listados eran necesarios (por supuesto, solo con los valores de sin (x) era suficiente)

Answer 2

Similar a los logaritmos, [math] sin ^ -1 [/ math] existe para deshacer otra función, la función sin. Lo hace evaluando la relación que ingresa y dando el ángulo que, cuando es un componente de un triángulo rectángulo, tendría una relación del lado opuesto sobre la hipotenusa que es la misma. Hasta donde yo sé, no hay una forma simple de evaluar esta operación a mano, el único uso que no es de la calculadora es tomar funciones trigonométricas al crear un triángulo rectángulo teórico con él y usar el teorema de Pitágoras para encontrar el lado que falta para las proporciones