Se eligen 3 vértices en un polígono de 100 lados inscrito en un círculo para formar un triángulo, ¿cuál es la probabilidad de que el triángulo esté en ángulo recto? Educación te da un futuro mejor

Este es fácil.

Olvida el problema por un momento. Regrese a la época en que estaba aprendiendo sobre círculos y ángulos en un sector de un círculo. Espero que recuerde la propiedad: el ángulo en un semicírculo es de 90 grados (o el triángulo formado al unir 2 puntos diametralmente opuestos y cualquier otro punto en el círculo es un triángulo rectángulo. Puede probar esto usando la propiedad de que el ángulo subtendido en un sector por un punto en un círculo es la mitad del ángulo subtendido por el sector en el centro del círculo, si el ángulo en el centro del círculo es 180, entonces la mitad es 90)

(BOOM: problema resuelto)

¡PERO ESPERA HAY MAS! (la respuesta no es 98C1 / 100C3)

Arregla 2 puntos, úsalos para dibujar un diámetro, ahora te quedan 98 puntos. Como el diámetro divide el círculo en dos partes simétricas y solo queremos el número de triángulos “diferentes”, podemos ignorar la mitad de los 98 puntos en un lado del diámetro. Así que ahora tenemos 49 puntos en consideración. Ahora dibuje otro diámetro perpendicular al primer diámetro (así que básicamente divida el círculo en 4 partes iguales). Observe que para cada punto en un lado del nuevo diámetro, hay un punto en el otro lado con el que volvería a obtener el mismo triángulo (el punto que se encuentra exactamente en el diámetro es su propia imagen especular). Esto significa que la cantidad de puntos que tenemos que usar se reduce aún más a la mitad. Entonces ahora tenemos 48/2 +1 (el punto que era su propia imagen especular) = 25 puntos. Estos 25 puntos te darán 25 triángulos diferentes.

Ahora sabemos que puede haber 25 triángulos en ángulo recto diferentes para 100 puntos en un círculo (que están igualmente espaciados. Si no estuvieran igualmente espaciados, entonces tendríamos que saber cuántos son diametralmente opuestos y luego elegir uno de esos , aquí, no importa qué par consideremos, ya que son todos iguales).

¿Aún conmigo? ¡Bueno! La mitad de la batalla ha sido ganada.

Todo lo que necesita ahora es el número total de triángulos que se pueden formar. No es 100C3 (al menos no si necesita triángulos “diferentes”. Esto se debe a que se repetirán muchos triángulos. La forma de eliminarlo es fijar 1 punto (todos los puntos son iguales, por lo que no necesita la probabilidad de fijar un punto) y luego ver cuántos triángulos se pueden formar usando 2 puntos de los 99 puntos restantes (dibuja / imagina un nuevo círculo, de lo contrario las cosas se pondrán más desordenadas de lo que deberían). repetir sobre el diámetro dibujado a través del primer punto que habíamos fijado. Entonces dividimos el número de triángulos que podríamos haber hecho entre 2 (entonces 99C2 / 2). Nuevamente, dibuja un nuevo círculo. Ahora, toma 2 puntos el círculo, conéctelos con cualquier otro punto en el círculo. Ahora dibuje el diámetro del círculo de modo que biseque el acorde que une los 2 puntos originales. Mire el tercer punto que eligió, ahora encuentre su reflejo sobre el diámetro. se ve que hay una mayor repetición de los triángulos, por lo que dividimos aún más por 2 (entonces 99 C2 / 4) (tómate tu tiempo con este si es necesario, tampoco se me ocurrió esto en 2 segundos).

WOOH! Cansado ¿verdad? Solo quédate conmigo Hermano / Hermana, ya casi termina.

así que ahora tenemos nuestros números

casos favorables = 25

total de casos = 99C2 / 4

Entonces la probabilidad es (lo adivinaste) = 100 / 99C2

Ahí. ¡Finalmente! ¿Quieres comprar Shawarma ahora? Tal vez un poco de helado? Estoy agotado.

PS- 1.Puede parecer que esta pregunta es larga, no lo es si lo haces mentalmente.

2. Sugerencia: escribir todo no siempre es la mejor idea cuando se ejecuta poco tiempo. Cuando tenga poco tiempo, tome casos especiales que sean fáciles de pensar porque en la mayoría de las preguntas, el caso especial le informará sobre el caso general. Al principio, mi respuesta fue 99C2 / 2 para los casos totales, pero luego imaginé que si hay 2 puntos en un diámetro, habrá repetición nuevamente, al principio no pude encontrar cómo demostrar que esto es cierto para todos los casos. Si estuviese en la sala de examen y esta fuera una prueba objetiva, no me molestaría en probarme y usarla para terminar la pregunta lo más rápido posible.

3. Si el “este es fácil” parece intimidante, me disculpo, cuando vi la pregunta, lo primero que me vino a la mente fue “oh, esto se basa en esa tonta propiedad de” ángulos en una semi “” y no lo hice No sé que encontraría tanta repetición. Literalmente pensé en los casos de repetición sobre la marcha, todos excepto el último.