(Tomé un módulo de maestría titulado Geometric Group Theory, y lo disfruté tanto que continué investigando en esa área para mi doctorado. Sin embargo, puedo estar un poco desactualizado, ya que no he trabajado en la universidad durante varios años años y he perdido el contacto. Además, cuando las matemáticas se profundizan, unos pocos años de estudio solo muestran una parte muy estrecha de un tema: alguien más podría estar trabajando en la teoría de grupos geométricos y tener un énfasis muy diferente al mío. Sin embargo, yo Trataré de darle un poco de sabor a cómo lo veo).
En “Topología algebraica” se utilizan grupos para estudiar espacios topológicos. Por lo general, hay una secuencia infinita de grupos asociados con cada espacio topológico (uno para cada dimensión), y cada grupo le dice algo sobre el espacio. (Los que aprendí se llaman grupos de homología, grupos de homotopía y grupos de cohomología).
La teoría de grupos geométricos lo pone de cabeza; en lugar de usar grupos para estudiar formas, usamos formas para estudiar grupos.
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La idea más simple aquí es mirar el Gráfico de Cayley, donde los vértices son los elementos del grupo y los bordes (dirigidos) señalan donde los generadores lo llevan entre los elementos. Las simetrías del Gráfico de Cayley son isomorfas al grupo original. El mismo grupo puede tener Gráficos de Cayley moderadamente diferentes, pero eso no le impide usar uno para estudiar el grupo. Por supuesto, si el grupo es infinito, el Gráfico de Cayley es infinito.
(Para aquellos de ustedes que conocen los grupos de homotopía, diré que Cayley Graph es el esqueleto único de la cubierta universal de una presentación de dos complejos. Una presentación de dos complejos es un complejo CW con un bucle para cada generador y una celda unida a lo largo del camino de cada relación, de modo que el grupo fundamental tenga la misma presentación que el grupo. La cubierta universal tiene un grupo de homotopía trivial y tiene simetrías isomorfas al grupo original, de modo que el espacio del cociente debajo del grupo La acción es la presentación de dos complejos: la cubierta universal en sí misma es, en cierto sentido, un mejor objeto de estudio que el Gráfico de Cayley, pero es más difícil de explicar.
Secretamente, cada vez que hablo sobre Cayley Graph, realmente estoy pensando en la portada universal de la presentación de dos complejos).
De ahora en adelante, mezclaré deliberadamente el grupo, su gráfico Cayley y cualquier otro objeto que tenga el grupo como simetrías. Esa es la forma de la teoría de grupos geométricos en mi opinión.
Algunos grupos tienen propiedades geométricas interesantes. Las cosas que encontré interesantes fueron “grupos hiperbólicos”, grupos que “se dividieron en subgrafías finitas” y la “descomposición JSJ” de un grupo.
La verdad fascinante es que las propiedades geométricas están vinculadas a las propiedades algebraicas del grupo.
La imagen de arriba está tomada de la publicación del blog de Danny Calagari sobre un software de visualización claramente excelente que escribió. Se parece un poco a un fractal, pero trata de pensar que la pequeñez en los bordes está muy lejos en lugar de ser pequeña. Cada una de las formas marrones y doradas que ves es realmente la misma: solo tenemos que distorsionarlas para hacer una imagen que puedas entender que se ajusta dentro de tres espacios, pero la geometría real de esta forma no puede caber en tres espacios .
En mi tesis, desarrollé un algoritmo que tiene como objetivo determinar el número de “extremos” del grupo y calcular un subgrupo finito sobre el cual se divide si tiene más de un extremo. Un final es un componente del “límite” del grupo, que podría describir libremente como la forma del grupo (o más bien, del Gráfico de Cayley) “en el infinito”. Debido a las simetrías necesarias en el Gráfico de Cayley, puede haber 0, 1, 2 o (mi favorito “qué número es el siguiente” 🙂 infinitamente infinitos extremos de un grupo.
Hay mucho, mucho más, pero me detendré allí por ahora. Esperemos que te haya dado una pista.