Éstos son dos de mis favoritos:
- La categoría de esquemas afines es equivalente al opuesto de la categoría de anillos. Sin entrar en demasiados detalles, esto significa lo siguiente. Los espacios geométricos definidos por los loci cero de conjuntos de polinomios se denominan variedades afines . Una variedad afín está determinada por el álgebra de las funciones polinómicas definidas en ella, pero hay anillos que no corresponden a ninguna variedad afín. No hay variedades “suficientes”. Al generalizar la noción de variedad a la de un esquema , tenemos suficientes espacios para corresponder con todos los anillos. Sin embargo, no es solo una biyección. Es una equivalencia de categorías, lo que significa que los morfismos de esquemas afines se corresponden perfectamente con los homomorfismos de los anillos.
- Deje que [math] M [/ math] sea una variedad suave con álgebra [math] C ^ \ infty (M) [/ math] de funciones suaves. Si [math] V \ to M [/ math] es un paquete de vectores liso, entonces el espacio [math] \ Gamma (V) [/ math] de las vecciones suaves de [math] V [/ math] es un [math] C ^ \ infty (M) [/ math] -módulo. De hecho, el Teorema de Swan establece que [math] \ Gamma (V) [/ math] está finitamente generado y proyectivo, y que la categoría de módulos proyectivos [math] C ^ \ infty (M) [/ math] generados finitamente y la categoría de paquetes de vectores lisos en [matemática] M [/ matemática] es equivalente a través del functor [matemática] V \ mapsto \ Gamma (V) [/ matemática]. Hay un análogo algebraico de este teorema debido a Serre también. Tenga en cuenta que esta equivalencia, a diferencia de la anterior, es covariante.