Si la raíz cuadrada 2 existe en el espacio euclidiano como hipotenusa de un triángulo con ambos lados = 1, ¿cómo llega a existir en la recta numérica real?

Answer 1

[math] \ sqrt {2} [/ math] es la longitud de algún segmento de línea. Un segmento de línea puede ser de cualquier longitud. No hay significado para esto. Sucede en 1,2,3, y todas las demás dimensiones.

Lo importante es que, con una regla y una brújula, puede construir un segmento de línea de longitud [math] \ sqrt {2} [/ math] en la recta numérica real.

Hacer esto es bastante simple: comience con un segmento de línea de longitud 1. Construya una línea perpendicular a ella, intersectando en cualquiera de sus puntos finales, con esto, ahora puede crear un triángulo rectángulo isósceles con longitud lateral 1. El teorema de Pitágoras le dice que la hipotenusa es length [math] \ sqrt {2} [/ math]. Ahora, usando su brújula, construya un círculo que copie esta longitud en la recta numérica real:

En el diagrama, los segmentos de longitud 1 se representan en azul. La hipotenusa y el círculo relevante están representados en rojo. La recta numérica real se dibuja en negro.

Las longitudes que son construibles de esta manera son bastante escasas: la mayoría de los números reales no se pueden construir de esta manera.

Sin embargo, para determinar qué longitudes son y no son construibles, debe estar familiarizado con la teoría de Galois.

Answer 2

En la recta numérica real, [math] \ sqrt {2} [/ math] es el supremum (límite superior mínimo) del conjunto de números racionales cuyo cuadrado es menor que 2.

De hecho, esta es casi exactamente la definición de corte Dedekind de [math] \ sqrt {2} [/ math].

Answer 3

Aquí hay una pista: la diagonal del cuadrado de la unidad es 1 dimensión.