¿Por qué es imposible que todos los lados de un triángulo rectángulo primitivo sean enteros cuadrados?

Answer 1

Una forma compleja de resolver esto es como consecuencia del último teorema de Fermat de que [matemática] a ^ n + b ^ n = c ^ n [/ matemática] es imposible para [matemática] n> 2 [/ matemática] y [matemática] a , b, c [/ math] enteros positivos.

Suponga que hay un triángulo rectángulo con longitudes laterales [matemática] x, y, z [/ matemática] con [matemática] x = a ^ 2, y = b ^ 2, z = c ^ 2 [/ matemática]. Aplicando Pitágoras [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 [/ matemática] y sustitutos da

[matemáticas] (a ^ 2) ^ 2 + (b ^ 2) ^ 2 = (c ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]

es decir

[matemáticas] a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 4 [/ matemáticas]

lo que contradeciría FLT. En realidad, no necesitamos la prueba completa de FLT para este resultado, solo el caso de n = 4. Fermat mismo probó este caso y muchos otros lo han seguido. Ver Prueba del último teorema de Fermat para exponentes específicos.

Answer 2

Los otros encuestados han mencionado que esto es el resultado del último teorema de Fermat …

Pero notaré que en realidad es un problema mucho más simple de probar. Es un caso especial del último teorema de Fermat probado por Fermat (y no perdido).

Prueba del último teorema de Fermat para exponentes específicos

En esa página de Wikipedia se describe la prueba de Fermat, que demuestra que no hay soluciones para [matemáticas] x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ 2 [/ matemáticas]

Esto entonces encaja con la pregunta porque la pregunta pide un triángulo que tendría la forma

[matemática] x ^ 4 + y ^ 4 = w ^ 4 [/ matemática] que podemos vincular a lo anterior simplemente especificando [matemática] z = w ^ 2 [/ matemática].

Prefiero la prueba de Fermat para este ejemplo.

Answer 3

Digamos que los lados del triángulo rectángulo son a ^ 2, b ^ 2 y c ^ 2.

Según el teorema de Pitágoras, debe tener:

a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 4

Pero sabemos por el último teorema de Fermat que esta ecuación no tiene soluciones enteras.