Oh! Eso es realmente simple. Que haya N volúmenes en el universo, de los cuales n volúmenes tienen energía. Organizar los volúmenes de energía entre todos los volúmenes (suponiendo que los volúmenes de energía son indistinguibles) es simplemente elegir n números de N , y ya tenemos una fórmula para eso:
[matemáticas] {} ^ N C_n = \ frac {N!} {n! (Nn)!} [/ matemáticas]
Ahora el volumen del universo observable es de [matemáticas] 4 \ por 10 ^ {80} m ^ 3 [/ matemáticas] y el volumen de Planck es de [matemáticas] 4 \ por 10 ^ {- 105} m ^ 3 [/ matemática], de modo que el universo observable tiene poco menos de [matemática] 10 ^ {185} [/ matemática] volúmenes de Planck. Tomar el factorial de eso es … desaconsejado. Tendrá que usar una aproximación, y la mejor es la de Stirling:
[matemáticas] \ ln n! \ aprox n \ ln n – n [/ matemáticas]
- He escrito varias conjeturas matemáticas sobre triángulos rectángulos. ¿Cómo los hago conocer al mundo?
- ¿Cómo obtenemos la distancia de un punto a un paralelogramo?
- ¿Por qué se usa la ecuación -1 / m para describir el gradiente de una línea perpendicular?
- ¿Cuál es el volumen de un cilindro con longitud infinita y un radio infinitesimal?
- Dado tres puntos en un plano (un triángulo), y usted sabe que la densidad del problema crece linealmente de izquierda a derecha, ¿cómo encuentra el PDF?
Asumamos que alguna proporción [matemática] p [/ matemática] de los volúmenes de Planck del universo tiene energía. Entonces [matemática] n = p N [/ matemática], [matemática] Nn = (1-p) N [/ matemática], y finalmente
[matemáticas] \ ln {} ^ N C_n \ aprox N \ ln N – p N \ ln p N – (1-p) N \ ln (1-p) N = – N (p \ ln p + (1- p) \ ln (1-p) [/ matemáticas]
(que es un número positivo porque [math] p [/ math] y [math] 1 – p [/ math] son menos de uno). La segunda parte entre corchetes es simplemente la entropía unitaria del universo; el primero es el enorme factor calculado anteriormente; por lo tanto, el número de arreglos varía de 1 (si todos / ninguno de los volúmenes son volúmenes de energía) a, si exactamente la mitad de los volúmenes son volúmenes de energía, el número completamente ridículo
[matemáticas] \ Omega_ {max} (universo) \ aprox \ ln 2 \ veces e ^ {10 ^ {185}} \ aproximadamente 10 ^ {4.3 \ veces 10 ^ {184}} [/ matemáticas]
(La notación Omega proviene del principio de Boltzmann).
No sé lo que va a hacer con un número que tiene unos 43000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 dígitos decimales, pero la buena suerte!