¿Es posible construir todos los números algebraicos reales?

Answer 1

Hay muchos tipos diferentes de construcciones geométricas. Con construcciones geométricas limitadas, solo puede construir algunos números algebraicos. A medida que permite más construcciones, puede construir más números algebraicos.

Los antiguos geómetras griegos consideraron tres tipos diferentes de construcciones que llamaron construcciones planas, construcciones sólidas y aquellas que requerían curvas especiales.

• Construcciones planas. Estos usan solo la regla y la brújula de Euclides, los postulados al comienzo de sus Elementos . Si especifica que un segmento de línea tiene longitud 1, entonces los únicos otros segmentos de línea que puede construir tienen longitudes positivas que se pueden expresar en términos de suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas. Entonces, por ejemplo, se puede construir un segmento de línea de longitud [math] \ sqrt {\ frac38 + \ sqrt 3} [/ math], pero uno de longitud [math] \ sqrt [3] 2 [/ math] no se puede construir ser.
• Las construcciones sólidas permiten el uso de secciones cónicas: parábolas, hipérbolas y elipses. Los geómetras griegos antiguos los usaban para construir [matemáticas] \ sqrt [3] 2 [/ matemáticas] y trisecar ángulos. Esencialmente, estas construcciones incluyen raíces cúbicas y raíces cuadradas.
• Curvas especiales. Hay muchas curvas especiales y se usaron para hacer cosas como cuadrar el círculo (es decir, construir un cuadrado de la misma área que un círculo dado).

Una de estas curvas especiales es la espiral de Arquímedes. Al mismo tiempo que gira un plano de manera uniforme (piense en una rueda de alfarero), mueva un punto uniformemente a lo largo de una línea recta que emana del centro de rotación.

Fuente de la imagen: Placa de cerámica de gres lanzado con rueda espiral de óxido marrón

Esta espiral establece una correspondencia de ángulos y distancia. Le permite tomar un ángulo y dividirlo en [matemática] n [/ matemática] partes iguales para cualquier entero positivo [matemático] n [/ matemático] porque puede hacerlo para segmentos de línea con herramientas euclidianas. Eso ciertamente permite la construcción de muchos más números algebraicos. En particular, se pueden construir todos los senos y cosenos de ángulos racionales ([matemática] \ frac mn \ pi [/ matemática] radianes). Incluso puede dividir un ángulo en dos partes en cualquier proporción constructiva para que incluso algunos números trascendentales se puedan construir con esta espiral.

¿Se pueden construir todos los números algebraicos positivos con la espiral de Arquímedes? No lo sé, pero imagino que alguien ha estudiado esta pregunta y ha encontrado la respuesta, ya sea sí o no.

Answer 2

Los números que se pueden construir geométricamente dependen de cómo se quiere decir “construir geométricamente”.

Si te refieres a usar solo la brújula y la regla, las herramientas clásicas griegas de construcción geométrica, entonces no puedes construir, usando un número finito de pasos, cualquier número que requiera raíces que no sean raíces cuadradas. Esto significa que las raíces de la mayoría de las ecuaciones cúbicas no son construibles.

Otros métodos de construcción pueden hacer más. Origami te permite resolver ecuaciones cúbicas (por ejemplo, origami puede trisecar un ángulo, lo cual es imposible con la brújula y la regla), y otras herramientas pueden permitirte construir más.

Ningún esquema de construcción geométrica le permitirá construir todos los números reales, simplemente porque dado cualquier esquema de construcción geométrica con un número finito de operaciones (dos puntos dibujan una línea, dos puntos dibujan un círculo, encuentran las intersecciones entre dos líneas , dos círculos, o una línea y un círculo) solo pueden construir un conjunto contable de números construibles, y el conjunto de reales no es contable. Desafortunadamente, este argumento no es válido para los números algebraicos, ya que el conjunto de números algebraicos es contable. Puede haber un esquema de construcción geométrica para construirlos a todos, pero no lo sé.

Answer 3

No, pero casi.

Otros han explicado la parte “No”. Déjame explicarte por qué digo “casi” …

En mi tesis de maestría y en un artículo que publiqué en Matematica Moravica, probé un resultado sobre campos topológicos y sus cierres algebraicos que, cuando se aplica al campo de los números racionales, muestra que en cualquier extensión no estándar del campo de los números algebraicos, dotado de la topología habitual (heredada del plano complejo), hay un elemento infinitesimal, [math] \ xi [/ math], de modo que el campo de extensión no estándar, [math] ^ {\ ast} \ mathbb {Q} ( \ xi) [/ math], que es el subcampo interno más pequeño del plano complejo que contiene [math] \ xi [/ math] y todos los números hiperracionales, contiene todos los números algebraicos. Tal número no estándar [matemáticas] \ xi [/ matemáticas] es lo que yo llamo un elemento primitivo hiperalgebraico . Como señalé en el artículo, esto se puede interpretar que implica lo siguiente:

Permitiendo hiperfinitamente muchos pasos de construcciones, y una perturbación infinitesimal fija, y escalamiento hiperracional, uno puede construir las construcciones geométricas clásicamente imposibles.

Por ejemplo, ¿desea trisecar un ángulo [matemático] 60 ^ {\ circ} [/ matemático]? Solo hazlo, encontrando un polinomio [matemático] p [/ matemático], posiblemente de grado hiperfinito infinito, con coeficientes que sean números hiperracionales, de modo que [matemático] \ cos (20 ^ {\ circ}) = p (\ xi )[/matemáticas]. El polinomio [math] p [/ math] puede usarse para escribir un algoritmo para guiar la “construcción”.

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Answer 4

No. [math] \ sqrt [3] {2} [/ math] es una raíz del polinomio [math] x ^ 3 – 2 [/ math], pero no es construible por brújula y regla.