¿Cómo se resuelve este rectángulo dentro de un problema de optimización de semicírculo?

Answer 1

En el siguiente diagrama, [matemática] O [/ matemática] es el centro.

Sea [math] PS = x, PQ = y [/ math]. Está claro que [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] están relacionadas por la ecuación:

[matemáticas] 16 – 4x ^ 2 = y ^ 2 [/ matemáticas]

Necesitamos maximizar [math] xy [/ math], o equivalente, [math] x ^ 2y ^ 2 [/ math] bajo esta restricción.

La forma estándar de hacer esto usando el cálculo es establecer

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ {x ^ 2 (16 – 4x ^ 2) \} = 0 [/ math],

de donde obtiene [math] x = \ sqrt {2}, y = 2 \ sqrt {2} [/ math] y el área de [math] PQRS = 4 [/ math].

¿Cómo justificas esto? Tenga en cuenta que con estas medidas, [matemáticas] \ ángulo POQ = 90 ^ o [/ matemáticas]. Luego, si refleja todo el semicírculo sobre la base, como en el siguiente diagrama:

Entonces [math] PQQ’P ‘[/ math] se convierte en un cuadrado, el cual es el rectángulo más grande que se puede inscribir en el círculo.

Answer 2

El área del rectángulo ABCD es

[matemáticas] AD.AB = 2R \ cos \ theta R \ sin \ theta = {R} ^ {2} \ sin 2 \ theta [/ matemáticas]

con un máximo [math] {R} ^ {2} [/ math] cuando [math] \ theta = \ frac {\ pi} {4} [/ math].

Answer 3

Sin usar cálculo o trigonometría:

Observe que el rectángulo máximo WXYZ del diagrama a continuación y el semicírculo tendrán una línea de simetría en el medio, es decir, [math] MO [/ math].

Por lo tanto, será suficiente encontrar el rectángulo más grande que encaje en un cuarto de círculo. La respuesta se puede duplicar para dar la respuesta al semicírculo.

Dibujemos una línea con la ecuación [matemáticas] x + y = sqrt (2) [/ matemáticas], como en la siguiente imagen.

Queremos demostrar que el cuadrado [math] HPZO [/ math] tiene el área más grande debajo del cuarto de círculo demostrando que:

1. También tiene el área más grande debajo de la línea, y
2. Como el semicírculo debajo de la línea, el rectángulo más grande debajo del semicírculo tiene como máximo el área del rectángulo más grande debajo de la línea.

Sabemos que queremos maximizar el valor de [math] xy [/ math] donde [math] x + y = sqrt (2) [/ math]. Aplique AM-GM para obtener [math] (x + y) / 2> = sqrt (xy) [/ math] y así [math] sqrt (2) / 2> = sqrt (xy) [/ math]. Esto muestra que el valor más grande para [math] xy [/ math] es [math] 0.5 [/ math] y dado que esto se logra en el caso de igualdad, sabemos que [math] x = y = sqrt (2) [/ math ] Ahora hemos demostrado que 1. y 2. es trivial en comparación, ya que no existe un rectángulo debajo de la línea más grande que [math] HPZO [/ math], por lo que no puede existir uno más grande que [math] HPZO [/ matemáticas] debajo del cuarto de círculo. Multiplicando esto por dos, vemos que el rectángulo más grande debajo del semicírculo original tiene longitudes de [math] XW = sqrt (2) [/ math], y [math] XY = 2 * sqrt (2) [/ math], que se muestra en la primera imagen. [matemáticas] QED [/ matemáticas]